A háromszögnek A, B és C sarkai vannak a (3, 5), (2, 9) és (4, 8) oldalon. Melyek a végpontok és a C magasságon áthaladó magasságok hossza?

Válasz:

végpontok #(4,8)# és #(40/17, 129/17) # és hossza # 7 / sqrt {17} #.

Magyarázat:

Látszólag szakértő vagyok két éves kérdések megválaszolásában. Folytassuk.

A C-n keresztüli magasság az AB és C közötti merőleges.

Van néhány módja ennek. Kiszámíthatjuk az AB meredekségét #-4,# akkor a merőleges meredekség #1/4# és találjuk meg a merőleges C-t és a vonalat az A-n és B-n keresztül. Próbáljuk meg más módon.

Hívjuk a merőleges lábát #F (x, y) #. Tudjuk, hogy az AB irányvektor iránypontvektora az AB irányvektorral nulla, ha merőleges:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Ez egy egyenlet. A másik egyenlet azt mondja #F (x, y) # az A és B vonalon van:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

Találkoznak, amikor

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

A magasság CF hossza

#h = qrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Nézzük meg ezt a területet a cipőfűző képlet segítségével, majd oldjuk meg a magasságot. A (3,5), a B (2,9), C (4,8)

#a = fr 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = fr 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #