Mi az a n legkisebb egész szám, hogy n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Válasz:

# N = 8075 #

Magyarázat:

enged #v_p (k) # legyen a sokaság # P # mint tényező # K #. Ez az, #v_p (k) # a legnagyobb egész szám így # P ^ (v_p (k)) | k #.

Észrevételek:

Bármilyen #k ZZ ^ + # és # P # elsődleges, van #v_p (k!) = összeg_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

(Ez könnyen indukálható)
Minden egész számra #k> 1 #, nekünk van # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

(Ez intuitív, mint a hatalom többszöröse #2# gyakrabban fordulnak elő, mint az egyenértékű hatáskörök többszörösére #5#, és hasonló érvvel szigorúan bizonyítható)
mert #j, k ZZ ^ + #, nekünk van #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # bármely elsődleges osztó számára # P # nak,-nek # J #.

Célunk, hogy megtaláljuk a legkisebb egész számot # N # oly módon, hogy # 10 ^ 2016 | n! #. Mint # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, majd a harmadik megfigyeléssel csak ezt kell megerősítenünk # 2016 <= v_2 (n!) # és # 2016 <= v_5 (n!) #. A második megfigyelés azt jelenti, hogy ez utóbbi magában foglalja az előbbit. Így elegendő a legkisebb egész szám megtalálása # N # oly módon, hogy # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Megtalálni # N # megfigyelést fogunk tenni, amely lehetővé teszi számunkra, hogy kiszámítsuk # V_5 (5 ^ k!) #.

Között #1# és # 5 ^ k #, vannak # 5 ^ K / 5 # többszörösei #5#amelyek mindegyike legalább hozzájárul #1# az összeget #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Vannak még # 5 ^ K / 25 # többszörösei #25#amelyek mindegyike járulékos hozzájárulást jelent #1# az összeget az első szám után. Ilyen módon folytathatjuk, amíg el nem érjük a többszöröseit # 5 ^ k # (ami # 5 ^ k # maga is), amely hozzájárult # K # az összeget. Az összeg kiszámítása így van

# v_5 (5 ^ k!) = összeg_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = összeg_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = összeg_ (i = 1) ^ k5 ^ (Ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Így azt találjuk # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Végül megtaláljuk # N # oly módon, hogy # v_5 (n!) = 2016 #. Ha kiszámítjuk # V_5 (5 ^ k!) # több értékre # K #, találunk

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Mint #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # N # két "blokkot" igényel #5^5#, kettő #5^4#, négy #5^3#, és három közül #5^2#. Így kapunk

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

A számítógép gyorsan ellenőrizheti #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. És így #10^2016 | 8075!#, és mint #5|8075!# sokasággal #2016# és #5|8075#, nyilvánvaló, hogy nem lesz kisebb érték.

Tegyük fel, hogy a béke konferencián van egy marialista és n Earthlings. Annak biztosítása érdekében, hogy a marsiok békés maradjanak a konferencián, meg kell győződnünk róla, hogy két marciens nem ül össze, úgy, hogy bármely két marciánus között legalább egy Földelés van (lásd a részleteket)

A) (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) b) (n! (n-1)!) / ((nm)!) Néhány extra érvelés mellett három általános technikát használ a számláláshoz. Először is ki fogjuk használni azt a tényt, hogy ha van egy módja annak, hogy egy dolgot és egy másik módot tegyünk, akkor a feladatok függetlenségét feltételezve (amit tehetsz az egyikért, nem támaszkodhatsz azzal, amit tettél a másikban ), mindkét módja van. Például, ha öt ingem és három pár nadrágom van,

A karinának legalább 627 teljes pontszámát kell megtenni a CA bowling három játékánál, hogy megtörje a bajnoki rekordot. Tegyük fel, hogy 222-et tálal az első játékán, és 194-et a második játékán. Milyen pontszámra van szüksége a harmadik játékán, hogy megtörje a rekordot?

Nézze meg az alábbi megoldási folyamatot: Először is hívjuk meg a harmadik játékban kapott pontszámot. A három játék összpontszámának vagy összegének legalább 627-nek kell lennie, és az első két játék pontszámát ismerjük, így tudunk írni: 222 + 194 + s> = 627 S megoldása: 416 + s> = 627 - szín (piros) (416) + 416 + s> = -szín (piros) (416) + 627 0 + s> = 211 s> = 211 Ahhoz, hogy Karina legalább 627 pontot kapjon, a harmadik játéknak egy 211 vagy magas

Legyen 5a + 12b és 12a + 5b egy derékszögű háromszög oldalhossza, a 13a + kb pedig a hypotenuse, ahol a, b és k pozitív egész számok. Hogyan találja meg a k legkisebb lehetséges értékét és a k és a b legkisebb értékeit?

K = 10, a = 69, b = 20 Pythagoras-tétel szerint: (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 Ez: 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 szín (fehér) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 Kivonja a bal oldalt mindkét végén, hogy megtalálja: 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 szín (fehér) (0) = b ((240-26k) a + ( 169-k ^ 2) b) Mivel b> 0 szükséges: (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 Ezután, mivel a, b> 0 szükséges (240-26k) és (169-k ^ 2) ellentétes jelekkel. Ha k