Tegyük fel, hogy a béke konferencián van egy marialista és n Earthlings. Annak biztosítása érdekében, hogy a marsiok békés maradjanak a konferencián, meg kell győződnünk róla, hogy két marciens nem ül össze, úgy, hogy bármely két marciánus között legalább egy Földelés van (lásd a részleteket)

Válasz:

a) # (N! (N + 1)!) / ((N-m + 1)!) #

b) # (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #

Magyarázat:

Néhány extra érvelés mellett három általános technikát használunk a számláláshoz.

Először is kihasználjuk azt a tényt, hogy ha van ilyen # N # hogyan lehet egy dolgot és # M # hogyan lehet egy másik műveletet végezni, akkor feltételezve, hogy a feladatok függetlenek (amit tehetsz az egyikért, nem támaszkodhatsz arra, amit tettél a másikban), ott vannak # Nm # mindkettőt. Például, ha öt ingem és három pár nadrágom van, akkor vannak #3*5=15# ruhákat tudok tenni.

Másodszor, ezt a rendezési módot fogjuk használni # K # objektumok #k! #. Ez azért van, mert vannak # K # az első objektum kiválasztásának módja, majd # K-1 # a második, és így tovább, és így tovább. Így a módszerek teljes száma #k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

Végül ezt a választási módot fogjuk használni # K # objektumok egy sorából # N # objektumok # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (kifejezve n válassza a k lehetőséget). Itt adjuk meg, hogyan kell elérni ezt a képletet.

a) Ha először figyelmen kívül hagyjuk a hasadásokat, vannak #p! # módja annak, hogy megrendeljük a marsiokat és #n! # a Földlakók megrendelésének módja. Végül meg kell látnunk, hogy hol helyezkednek el a marslakók. Mivel mindegyik marsi a végére vagy két Földlakó között van elhelyezve # N + 1 # olyan helyeken, ahol ülhetnek (az egyik a Földről minden balra, majd egy másik a jobb szélén). Ahogy vannak # M # Marsiak, ez azt jelenti, hogy vannak # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # lehetőségeket. Így az összes lehetséges ülőhely megegyezik

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) Ez a probléma hasonló a fentiekhez. Hogy egyszerűbbé tegyük a dolgokat, válasszunk egy Földet, és hívjuk őt elnöknek. Mivel nem számít, hogy egy kört forgassanak, ahelyett, hogy abszolút megrendelésen alapuló ülésekre hivatkoznánk, az ülőhelyeket az elnökhez fűződő viszonyuk alapján fogjuk figyelembe venni.

Ugyanúgy, mint a fentiekben, ha elkezdjük az elnököt és folytatjuk az óramutató járásával megegyező irányban a kör körül, számíthatjuk a többi résztvevő megrendelésének számos módját. Ahogy vannak # M # Mars és # N-1 # fennmaradt Földlakók is vannak #p! # módja annak, hogy megrendeljük a marsiokat és # (N-1)! # a fennmaradó földlakók megrendelésének módja.

Ezután ismét el kell helyeznünk a marslakókat. Ezúttal nincs további hely a végén, így csak # N # helyeken, ahol ülhetnek. Aztán ott vannak # ((N), (m)) = (n!) / (M! (N-m)!) # hogyan lehet őket elhelyezni. Így az összes lehetséges ülőhely megegyezik

# (N-1)! M! (N!) / (M! (N-m)!) = (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #