Mi az egyenlet az x = 1 vonal tangensének?

Válasz:

#y - F (1) = 2 sqrt (6) (x - 1) #

# "F (1) = 1,935" #

Magyarázat:

#F '(x) = 2 sqrt ((2x) ^ 2 + 2x) #

# = 2 sqrt (4x ^ 2 + 2x) #

# => F '(1) = 2 sqrt (6) #

# "Így keresünk egyenes vonalat a lejtővel" 2 sqrt (6) #

# ", amely áthalad (1, F (1))." #

# "A probléma az, hogy nem tudjuk F (1) -et, kivéve, ha kiszámítjuk" #

# "határozott integrál" #

# int_1 ^ 2 sqrt (t ^ 2 + t) "" dt #

# "Különleges helyettesítést kell alkalmaznunk az integrál megoldásához."

# "Megérkezhetünk a helyettesítéssel" u - t = sqrt (t ^ 2 + t) #

# => (u - t) ^ 2 = t ^ 2 + t => u ^ 2 - 2 u t + törlés (t ^ 2) = törlés (t ^ 2) + t #

# => t = u ^ 2 / (1 + 2u) #

# => dt / {du} = (2u (u + 1)) / (1 + 2u) ^ 2 #

# => t ^ 2 + t = u ^ 4 / (1 + 2u) ^ 2 + u ^ 2 / (1 + 2u) = ((u (u + 1)) / (1 + 2u)) ^ 2 #

# => sqrt (t ^ 2 + t) = (u (u + 1)) / (1 + 2u) #

#t = 1 => u ^ 2 - 2u - 1 = 0 => u = 1 + sqrt (2) #

#t = 2 => u ^ 2 - 4 u - 2 = 0 => u = 2 + sqrt (6) #

# "(a megoldást + jelzéssel vesszük, mert" u - t = sqrt (…)> 0 ")" #

#int sqrt (t ^ 2 + t) "" dt = 2 int u ^ 2 (u + 1) ^ 2 / (1 + 2u) ^ 3 "" du #

# = 2 int (u ^ 4 + 2 u ^ 3 + u ^ 2) / (8 u ^ 3 + 12 u ^ 2 + 6 u + 1) "" # #

# = 2 int (u / 8 + 1/16) "" du - 2 int (u ^ 2/2 + u / 2 + 1/16) / (1 + 2u) ^ 3 "" du #

# = 2 (u ^ 2 + u) / 16 - 2 int (A / (1 + 2u) + B / (1 + 2u) ^ 2 + C / (1 + 2u) ^ 3) "" du #

# "(felosztása részleges frakciókban)" #

# => A = 1/8, B = 0, C = -1 / 16 #

# = 2 (u ^ 2 + u) / 16-2 ln (| 1 + 2u |) / 16 - 2 / (64 (1 + 2u) ^ 2) #

# = (u ^ 2 + u) / 8 - ln (| 1 + 2u |) / 8 - 1 / (32 (1 + 2u) ^ 2) #

# "Értékeljük az" u = 1 + sqrt (2) "és a" u = 2 + sqrt (6) # között.

# ""

#F (1) = 1,935 #