Mi a legnagyobb téglalap, amelyet egy 12-es oldalú egyenlő oldalú háromszögbe lehet beírni?

Válasz:

# (3, 0), (9, 0), (9, 3 sqrt 3), (3, 3 sqrt 3) #

Magyarázat:

#Delta VAB; P, Q AB-ben; R VA-ban; S a VB #

#A = (0, 0), B = (12, 0), V = (6, 6 sqrt 3) #

#P = (p, 0), Q = (q, 0), 0 <p <q <12 #

#VA: y = x sqrt 3 Jobbra R = (p, p sqrt 3), 0 <p <6 #

#VB: y = (12 - x) sqrt 3 Jobbra S = (q, (12 - q) sqrt 3), 6 <q <12 #

#y_R = y_S jobboldali p sqrt 3 = (12 - q) sqrt 3 jobboldali q = 12 - p #

#z (p) = #A terület #PQSR = (q - p) p sqrt 3 = 12p sqrt 3 - 2p ^ 2 sqrt 3 #

Ez egy parabola, és szeretnénk a Vertexet # W #.

#z (p) = a p ^ 2 + bp + c Jobbra W = ((-b) / (2a), z (-b / (2a))) #

#x_W = (-12 sqrt 3) / (- 4 sqrt 3) = 3 #

#z (3) = 36 sqrt 3 - 18 sqrt 3 #