Válasz:
Lent
Magyarázat:
Annak bizonyításához, hogy az egyenlőtlenség igaz, a matematikai indukciót használja
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # mert #n> 1 #
1. lépés: Bizonyítsuk be, hogy igaz # N = 2 #
LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #
RHS =# Sqrt2 (2-1) = sqrt2 #
Mivel # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, azután #LHS> RHS #. Ezért ez igaz # N = 2 #
2. lépés: Tegyük fel, hogy igaz # N = k # ahol k egész szám és #k> 1 #
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)
3. lépés: Mikor # N = k + 1 #,
RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #
azaz # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
RHS
=# Sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
#> = Sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # (1) -től feltételezéssel
=# Sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #
=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #
Mivel #k> 1 #, azután # -1 / sqrt (k + 1) <0 # és azóta # Ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, azután # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # így # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #
= LHS
4. lépés: A matematikai indukció igazolásával ez az egyenlőtlenség minden egész számra igaz # N # nagyobb, mint #1#
A megadott egyenlőtlenség hamis.
Pl #n = 3 #:
#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (kb. 2,3) Cancel (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (kb. 2,8) #
Egy ellentmondás.
