Mi a (4 i + 4 j + 2 k) vetülete a (i + j-7k) -re?

Válasz:

A vektor vetítés #< -2/17,-2/17,14/17 >#, a skalár vetítés # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Lásd lentebb.

Magyarázat:

Adott # Veca = (4i + 4j + 2k) # és # vecb = (i + j-7k) #, megtaláljuk #proj_ (vecb) Veca #, a vektor vetítés # # Veca -ra # # Vecb a következő képlet alkalmazásával:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Ez azt jelenti, hogy a két vektor pontterméke osztva a # # Vecb, szorozva # # Vecb megosztva annak nagyságával. A második mennyiség egy vektormennyiség, mivel egy vektorot osztunk el egy skalárral. Ne feledje, hogy megosztjuk # # Vecb nagyságrendje szerint a egységvektor (vektor nagysága) #1#).Előfordulhat, hogy az első mennyiség skalár, hiszen tudjuk, hogy amikor két vektor pontpontját vesszük, az eredmény egy skalár.

Ezért a skaláris vetítés # A # -ra # B # jelentése #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, szintén írt # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Elkezdhetjük úgy, hogy a két vektor ponttermékét vesszük fel # veca = <4,4,2> # és # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Aztán megtaláljuk a nagyságát # # Vecb az egyes komponensek négyzetének összegének négyzetgyökét.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => Sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

És most mindent meg kell találnunk a vektor vetítésének megtalálásához # # Veca -ra # # Vecb.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Megoszthatja az együtthatót a vektor minden egyes összetevőjére, és írhat:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

A skaláris vetítés # # Veca -ra # # Vecb csak a formula első fele, ahol #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #. Ezért a skalár vetítés # -6 / sqrt (51) #ami nem egyszerűsíti tovább, emellett szükség esetén racionalizálja a nevezőt # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Remélem segít!