Az sqrt21 valós szám, racionális szám, egész szám, integer, irrációs szám?

Válasz:

Ez egy irracionális szám és ezért valóságos.

Magyarázat:

Először ezt bizonyítsuk #sqrt (21) # Valódi szám, valójában az összes pozitív valós szám négyzetgyöke valós. Ha #x# valódi szám, majd meghatározzuk a pozitív számokat #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #. Ez azt jelenti, hogy minden valós számot nézünk # Y # oly módon, hogy # Y ^ 2 <= x # és vegye a legkisebb valós számot, ami nagyobb ezeknél # Y #az ún. supremum. Negatív számok esetén ezek # Y #nem létezik, hiszen minden valós szám esetében a szám négyzetének pozitív száma, és minden pozitív szám nagyobb, mint a negatív számok.

Minden pozitív számnál mindig van néhány # Y # amely megfelel az állapotnak # Y ^ 2 <= x #, nevezetesen #0#. Továbbá, ezeknek a számoknak egy felső határa van, nevezetesen # X + 1 #, mivel ha # 0 <= y <1 #, azután # X + 1> y #, ha #Y> = 1 #, azután #Y <= y ^ 2 <= x #, így # X + 1> y #. Megmutathatjuk, hogy minden egyes korlátozott, nem üres valós számhoz mindig létezik egy egyedülálló valós szám, amely egy ún. # RR #. Tehát minden pozitív valós számra #x# van egy igazi #sqrt (X) #. Azt is megmutathatjuk, hogy ebben az esetben #sqrt (x) ^ 2 = X #, de ha nem akarod, nem fogom bizonyítani ezt. Végül megjegyezzük #sqrt (x)> = 0 #, azóta #0# egy olyan szám, amely megfelel az előző feltételnek.

Most az irracionalitásért #sqrt (21) #. Ha ez nem irracionális (így racionális), úgy írhatnánk #sqrt (21) = a / b # val vel # A # és # B # egész számok és # / B # a lehető legegyszerűbb, ami azt jelenti, hogy # A # és # B # nincs közös osztója, kivéve #1#. Most ez azt jelenti # 21 = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Most valamit a természetes számok elsődleges faktorizálásának nevezünk. Ez azt jelenti, hogy minden pozitív egész számot a prímszámok egyedülálló termékének írhatunk le. mert #21# ez #3*7# és a # A # és # B # ez néhány prím önkényes terméke # A = a_1 * … * a_n # és # B = b_1 * … * b_m #. Az a tény, hogy az egyetlen közös osztója # A # és # B # jelentése #1# egyenértékű azzal, hogy # A # és # B # nincsenek prímek a faktorizációjukban, így vannak # # A_i és # # B_j oly módon, hogy # A_i = b_j #. Ez azt jelenti # A ^ 2 # és # B ^ 2 # azóta sem osztozik semmilyen prím # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # és # B ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., ezért az egyetlen közös osztója # A ^ 2 # és # B ^ 2 # jelentése #1#. Mivel # A ^ 2 = 21b ^ 2 #, ez azt jelenti, hogy # B ^ 2 = 1 #, így # B = 1 #. Ebből adódóan #sqrt (21) = a #. Ne feledje, hogy ez csak a feltételezés szerint fennáll #sqrt (21) # racionális.

Természetesen végig tudnánk végigmenni az összes pozitív számnál, ami kisebb #21# és ellenőrizze, hogy megadja-e őket #21#, de ez egy unalmas módszer. Ahhoz, hogy ezt érdekesebbé tegyük, ismét a prímáinkhoz fordulunk. Tudjuk # A ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # és #21=3*7#, így # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * * a_n a_n #. A bal oldalon minden prím csak egyszer jelentkezik, a jobb oldalon, minden prím legalább kétszer, és mindig egyenletes mennyiségű (ha # A_1 = a_n # az instace-ra legalább négyszer fordulna elő). De ahogy már említettük, ezek az elsődleges faktorizációk egyediek, így ez nem lehet helyes. Ebből adódóan # 21nea ^ 2 #, így #anesqrt (21) #, ami azt jelenti, hogy a korábbi feltételezésünk #sqrt (21) # ezért racionálisnak tűnik, hogy rossz #sqrt (21) # irracionális.

Ne feledje, hogy ugyanazt az érvelést érinti minden pozitív egész szám #x# egy elsődleges faktorizációval, ahol az egyik prím egyenetlen számú alkalommal jelenik meg, hiszen egy egész szám négyzetének mindig van minden elsődleges tényezője, amely egyidejűleg egyenlő mennyiséget mutat. Ebből arra következtetünk, hogy ha #x# pozitív egész szám (#x inNN #) elsődleges tényezője, amely csak egyenetlen t #sqrt (X) # irracionális lesz.

Tudom, hogy ez a bizonyíték kicsit hosszúnak tűnhet, de fontos fogalmakat használ a matematikából. Valószínűleg bármely középiskolai tantervben ezek az érvek nem szerepelnek (nem vagyok 100% -ban biztos, nem ismerem a világ minden középiskolájának tantervét), de a tényleges matematikusok számára a dolgok bizonyítása az egyik. legfontosabb tevékenységeiket. Ezért azt akartam megmutatni, hogy milyen matematika mögött van a dolgok négyzetgyökere. Amit el kell távolítani ebből, valóban #sqrt (21) # egy irracionális szám.