Hogyan találja meg a határértéket (h-> 0) (sqrt (1 + h) -1) / h?

Válasz:

# Frac {1} {2} #

Magyarázat:

A korlát definiálatlan formát mutat #0/0#. Ebben az esetben használhatja a de l'hospital tételt, amely azt állítja

#lim fr {f (x)} {g (x)} = lim fr {f '(x)} {g' (x)} #

A számláló származéka

# Frac {1} {2sqrt (1 + H)} #

Míg a nevező származéka egyszerűen #1#.

Így, # {{{x}} {{{{{x}} {g ”(x)} = lim_ {x-0} fr {{{}} {2sqrt (1 + h)} } {1} = lim_ {x-0} fr {1} {2sqrt (1 + h)} #

És így egyszerűen

# Frac {1} {2sqrt (1)} = frac {1} {2} #

Válasz:

# = 1/2 #

Magyarázat:

Ha nem ismeri a l'hopitals szabályt …

Használat:

# (1 + x) ^ n = 1 + nx + (n (n-1)) / (2!) X ^ 2 + … #

# => (1 + h) ^ (1/2) = 1 + 1 / 2h - 1/8 h ^ 2 + … #

# => lim_ (h-tól 0-ig) ((1 + 1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) - 1) / h #

# => lim_ (h-tól 0-ig) (1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) / h #

# => lim_ (h-tól 0-ig) (1/2 - 1/8 h + …) #

# = 1/2 #