Hogyan lehet bizonyítani a Poisson-eloszlást?

Válasz:

# "Lásd a magyarázatot" #

Magyarázat:

# "Egy" t "hosszúságú időszakot veszünk, amely n darabból áll" #

#Delta t = t / n ". Tegyük fel, hogy a sikeres esemény lehetősége" #

# "egy darabban" p ", akkor az n" #

# "idődarabok binomiális eloszlása a" #

#p_x (x) = C (n, x) p ^ x (1-p) ^ (n-x), x = 0,1, …, n #

# "a" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!)) "(kombinációk)" #

# "Most hagyjuk" #

# n-> oo ", így" p-> 0 ", de" n * p = lambda #

# "Tehát a" p = lambda / n "helyett a" p_x ":" #

#p_x (x) = (n!) / ((x!) (n-x)!) (lambda / n) ^ x (1-lambda / n) ^ (n-x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n!) / ((n-x)!) * 1 / (n ^ x (1-lambda / n) ^ x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n (n-1) (n-2) … (n-x + 1)) / (n (1-lambda) / n)) ^ x #

# "az" n - oo "esetében, ami a …" -> 1 "és" #

# (1 - lambda / n) ^ n -> e ^ -lambda "(Euler-korlát)," #

# "így kapunk" #

#p_x (x) = (lambda ^ x e ^ -lambda) / (x!), x = 0,1,2, …, oo #