Milyen jelentése egy függvény határa?

Válasz:

Az állítás #lim_ (x a) f (x) = L # jelentése: as #x# közelebb kerül # A #, #f (X) # közelebb kerül # L #.

Magyarázat:

A pontos meghatározás:

Valódi számra #ε>0#, van egy másik valós szám #δ>0# olyan, hogy ha # 0 <| x-a |<>, azután # | F (x) -L |<>.

Fontolja meg a funkciót #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Ha a grafikonot ábrázoljuk, úgy néz ki:

Nem mondhatjuk, hogy mi az értéke # X = 1 #, de úgy néz ki, mintha #f (X) # megközelít #2# mint #x# megközelít #1#.

Próbáljuk megmutatni ezt #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

A kérdés az, hogy honnan jutunk el # 0 <| x-1 |<> nak nek # | (X ^ 2-1) / (X-1) -2 | <>?

Kezdeni kell valamilyen értékkel #ε# majd keresse meg a megfelelő értéket #δ#.

Kezdjük

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((X + 1) (x-1)) / (X-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

A másik feltétel

# | X-1 | <δ #

A definíció pontosan megfelel, ha #δ = ε#.

Észrevettük, hogy bárki #ε#, van egy #δ# így # | F (x) -2 |<> amikor # 0 <| x-1 |<>.

Tehát megmutattuk ezt

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #