Hogyan kell ezt kiszámítani? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + példa

Válasz:

Lásd lentebb.

Magyarázat:

Sajnos az integrál belsejében lévő funkció nem integrálódik olyan elemre, amelyet nem lehet elemi funkciókban kifejezni. Ehhez numerikus módszereket kell használnia.

Megmutathatom, hogyan használhatok egy sorozatbővítést egy hozzávetőleges érték.

Kezdje a geometriai sorozatot:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ OOR ^ n # mert # # Rlt1

Most beilleszkedni # R # és a korlátok felhasználásával #0# és #x# ezt kapja:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

A bal oldal integrálása:

# Int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ X = -ln (1-x) #

Most integrálja a jobb oldalt a kifejezés kifejezéssel történő integrálásával:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = X + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4-+ … #

Ebből következik, hogy:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Most ossza fel #x#:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4--… #

Tehát most már rendelkezünk hatalmi sorozat kifejezéssel az eredetileg elindított függvényhez. Végül újra integrálhatunk, hogy:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4--… dx #

A jobboldali kifejezés kifejezéssel történő integrálása:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - X-X ^ 2/4-X ^ 3/9-X ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

A határértékek négy feltételre való értékelése hozzávetőleges értéket ad nekünk:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Ez csak négy fogalom. Ha egy pontosabb számot szeretne, egyszerűen használjon több kifejezést a sorozatban. Például a 100. ciklusra való átállás:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) /x

Ha félreérthetjük, ha ugyanazon a folyamaton dolgozol, hanem összegző jelölést használsz (vagyis nagy sigmával, nem pedig a sorozat feltételeit), akkor azt találod, hogy:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ OO1 / n ^ 2 #

ami csak a Riemann-Zeta függvény 2, azaz:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ OO1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Valójában már tudjuk, hogy ez az érték: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Ennélfogva az integrál pontos értéke a következõ:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #