Kezelheted #én# mint bármilyen állandó # C #. Tehát a #én# lenne #0#.
A komplex számok kezelése során azonban óvatosnak kell lennünk azzal, amit a funkciókról, származékokról és integrálokról mondhatunk.
Vegyünk egy funkciót #F z)#, hol # Z # egy komplex szám (azaz # F # komplex tartománya van). Ezután a # F # a valós esethez hasonló módon van meghatározva:
# f ^ prime (z) = lim_ (h-tól 0-ig) (f (z + h) -f (z)) / (h) #
hol # H # most egy komplex szám. Ha összetett számokat látunk úgy, mintha egy síkban feküdnének, úgynevezett komplex síknak, hogy ennek a korlátnak az eredménye attól függ, hogy hogyan választottunk # H # menj #0# (azaz, melyik utat választottuk).
Állandó esetén # C #, könnyű látni, hogy származik #0# (a bizonyíték a valós esethez hasonló).
Például vegye # F # lenni #f (z) = bar (z) #, vagyis # F # komplex számot vesz fel # Z # a konjugátumba #bar (z) #.
Ezután a # F # jelentése
# f ^ prime (z) = lim_ (h-tól 0-ig) (f (z + h) -f (z)) / (h) = lim_ (h-tól 0-ig) (bar (z + h) -bar (z)) / (h) = lim_ (h-tól 0-ig) (bar (h) + bar (z) -bar (z)) / (h) = lim_ (h 0) (bar (h)) / (h) #
Fontolja meg # H # menj #0# csak valós számokat használ. Mivel a valóságos szám komplex konjugátuma önmagában van:
# f ^ prime (z) = lim_ (h-tól 0-ig) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h 0) h / h = = lim_ (h 0) 1 = 1 #
Most csináld # H # menj #0# csak tiszta képzeletbeli számokat használunk (az űrlap számai) # # Ai). Mivel a tiszta képzeletbeli szám konjugátuma # W # jelentése # # -W, nekünk van:
# f ^ prime (z) = lim_ (h-tól 0-ig) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h 0) -h / h = = lim_ (h 0) -1 = -1 #
És ezért #f (z) = bar (z) # nincs származéka.
