Lehet-e egy függvény egy adott tartományban folyamatos és nem differenciálható?

Válasz:

Igen.

Magyarázat:

Ennek egyik legszembetűnőbb példája a Weierstrass függvény, amelyet Karl Weierstrass felfedezett, amit az eredeti papírjában definiált:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

hol # 0 <a <1 #, # B # pozitív páratlan egész és #ab> (3pi + 2) / 2 #

Ez egy nagyon tüskés függvény, amely a Real sorban mindenütt folyamatos, de nem differenciálható.

Válasz:

Igen, ha van egy "hajlított" pontja. Egy példa erre #f (x) = | x | # nál nél # X_0 = 0 #

Magyarázat:

A folyamatos funkció gyakorlatilag azt jelenti, hogy a ceruzát a papírtól távol tartja. Matematikailag ez azt jelenti, hogy bármilyen # # X_0 értékei #f (x_0) # mivel végtelenül kicsiek # # Dx balról és jobbról egyenlőnek kell lennie:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

ahol a mínuszjel azt jelenti, hogy a balról közeledik, a pluszjel pedig jobbról való megközelítést jelent.

A differenciálható funkció gyakorlatilag olyan funkciót jelent, amely folyamatosan változtatja a lejtőjét (NEM állandó sebességgel). Ezért egy adott ponton nem differenciálható függvény gyakorlatilag azt jelenti, hogy hirtelen megváltoztatja a lejtőjét a balról jobbra.

Lássuk 2 funkciót.

#f (x) = x ^ 2 # nál nél # X_0 = 2 #

Grafikon

grafikon {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Grafikon (nagyított)

grafikon {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Azóta # X_0 = 2 # a grafikon a ceruzát a papírból való levétele nélkül alakítható ki, a funkció folyamatos ezen a ponton. Mivel ez a pont nem hajlított, ez is megkülönböztethető.

#G (x) = | x | # nál nél # X_0 = 0 #

Grafikon

grafikon {absx -10, 10, -5,21, 5,21}

Nál nél # X_0 = 0 # a funkció folyamatos, amint azt a ceruzát a papírról le kell húzni. Mivel azonban ebben a pillanatban meredek, a funkció nem differenciálható.