Hogyan találja meg a [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] határértékét, amikor x megközelíti a 0-at?

Válasz:

Végezzen el néhány konjugált szorzást, és egyszerűsítse meg #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Magyarázat:

A közvetlen helyettesítés határozatlan formát hoz létre #0/0#, ezért meg kell próbálnunk valamit.

Próbálja meg szorozni # (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # által # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (Sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (Sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (Sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Ez a technika ismert konjugált szorzás, és majdnem minden alkalommal működik. Az ötlet az, hogy a négyzetek tulajdonságait használjuk # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # egyszerűsíteni kell a számlálót vagy a nevezőt (ebben az esetben a nevezőt).

Emlékezzünk erre # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, vagy # Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Ezért helyettesíthetjük a nevezőt, ami az # 1-cos ^ 2x #, val vel # Sin ^ 2x #:

# ((Sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Most a # Sin ^ 2x # törli:

# ((Sinx) (megszünteti (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (megszünteti (sin ^ 2x)) #

# = (Sinx) (1 + cosx) #

Befejezés a kifejezés korlátozásával:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = Lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#