Hogyan használjuk az Integral Testet a sorozat konvergenciájának vagy divergenciájának meghatározására: n n ^ ^ -n összeg az n = 1-től a végtelenségig?

Válasz:

Vegyük az integrát # Int_1 ^ ^ ooxe -xdx #, ami véges, és vegye figyelembe, hogy ez korlátozott #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Ezért konvergens #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # is.

Magyarázat:

Az integrális teszt hivatalos állítása szerint ha #fin 0, oo) rightarrowRR # monoton csökkentő funkció, amely nem negatív. Akkor az összeg #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # csak konvergens, ha # "Sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # véges. (Tau, Terence. Elemzés I., második kiadás. Hindustan könyviroda. 2009).

Ez az állítás kissé technikainak tűnhet, de az ötlet a következő. Ebben az esetben a funkció #f (x) = XE ^ (- x) #, ezt megjegyezzük #X> 1 #, ez a funkció csökken. Ezt láthatjuk a származékos termék megadásával. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, azóta #X> 1 #, így # (1-x) <0 # és #e ^ (- x)> 0 #.

Emiatt megjegyezzük, hogy bármi más #ninNN _ (> = 2) # és #x 1, oo # oly módon, hogy #X <= n # nekünk van #f (x)> = f (n) #. Ebből adódóan #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, így #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# Int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (X = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - XE ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ OOE ^ (-x) dx ## = - XE ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # az integráció részekből és ezáltal #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -X = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -X = 0 #.

Mivel #f (x)> = 0 #, nekünk van # E / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, így #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Mivel #f (n)> = 0 #, a sorozat #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # növekszik # N # növeli. Mivel ezt korlátozza # 3 / e #, meg kell közelítenie. Ebből adódóan #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # konvergál.