Tegyük fel, hogy volt egy alapja és egy bizonyos számú dimenziója az RR ^ 4-es alsűrűségnek. Miért van a méretek száma 2?

Válasz:

4 dimenzió mínusz 2 korlátozás = 2 méret

Magyarázat:

A harmadik és a negyedik koordináta az egyetlen független. Az első kettő az utolsó kettővel fejezhető ki.

Válasz:

Az alterület dimenzióját a bázisok határozzák meg, és nem a vektorterek dimenziója, hanem az a részterület.

Magyarázat:

A vektorterület dimenzióját a szóban forgó tér alapjául szolgáló vektorok száma határozza meg (a végtelen dimenziós terek esetében a bázis kardinalitása határozza meg). Megjegyezzük, hogy ez a definíció következetes, mivel bizonyítani tudjuk, hogy a vektor tér bármely alapja azonos számú vektorral rendelkezik, mint bármely más alap.

Abban az esetben # RR ^ n # tudjuk #dim (RR ^ n) = n # mint

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

alapja # RR ^ n # és van # N # elemekkel.

Abban az esetben #W = s, t az RR-ben írhatunk bármilyen elemet # W # mint #svec (u) + tvec (v) # hol #vec (u) = (4,1,0,1) # és #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Ebből már van # {vec (u), vec (v)} # egy áthidaló készlet # W #. Mert #vec (u) # és #vec (v) # nyilvánvalóan nem egymás skaláris többszörösei (jegyezze fel a pozíciókat) #0#s), ez azt jelenti, hogy # {vec (u), vec (v)} # egy lineárisan független átfedési készlet # W #, azaz alap. Mert # W # alapja van #2# elemeket mondunk #dim (W) = 2 #.

Megjegyezzük, hogy a vektorterület dimenziója nem függ attól, hogy a vektorok nagyobb vektor dimenziókban létezhetnek-e. Az egyetlen kapcsolat az, hogy ha # W # egy. t # V # azután #dim (W) <= halvány (V) # és #dim (W) = halvány (V) <=> W = V #