Mi a 4 = (x + y) ^ 2 implicit származéka?

Válasz:

Használhatja a számológépet, és néhány percet tölthet a problémára, vagy használhatja az algebra-t, és néhány másodpercet eltölthet, de mindkét esetben # Dy / dx = -1 #.

Magyarázat:

Kezdje a származékos terméket mindkét oldalra vonatkozóan:

# D / dx (4) = d / dx (x + y) ^ 2 #

A bal oldalon egy állandó állandó származéka van, ami igaz #0#. Ez a problémát a következőre bontja:

# 0 = d / dx (x + y) ^ 2 #

Hogy értékelje # D / dx (x + y) ^ 2 #, a hatalmi szabályt és a láncszabályt kell használnunk:

# D / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) ^ (2-1) #

jegyzet: megszorozzuk # (X + y) '# mert a láncszabály azt mondja nekünk, hogy meg kell szoroznunk az egész függvény deriváltját (ebben az esetben # (X + y) ^ 2 # belső funkcióval (ebben az esetben # (X + y) #).

# D / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) #

Ami azt illeti # (X + y) '#, észrevehetjük, hogy az összegszabályt felhasználhatjuk arra, hogy betörjük # X '+ y' #. #x'# egyszerűen #1#, és mivel nem igazán tudjuk, mi # Y # van, el kell hagynunk # Y '# mint # Dy / dx #:

# D / dx (x + y) ^ 2 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Most, hogy megtalálta a származtatott terméket, a probléma a következő:

# 0 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Néhány algebrát elkülöníteni # Dy / dx #, látjuk:

# 0 = (1 + dy / dx) (2x + 2y) #

# 0 = 2x + dy / dx2x + dy / dx2y + 2y #

# 0 = x + dy / DXX + dy / DXY + y #

# -X-y = dy / DXX + dy / DXY #

# -X-y = dy / dx (x + y) #

# Dy / dx = (- x-y) / (x + y) #

Érdekes, hogy ez egyenlő #-1# mindenkinek #x# és # Y # (kivéve, ha # X = -y #). Ebből adódóan, # Dy / dx = -1 #. Valószínűleg kiszámíthattuk volna ezt anélkül, hogy egyáltalán kalkulusokat használnánk! Nézd meg az egyenletet # 4 = (x + y) ^ 2 #. Vegye ki a két oldal négyzetgyökét # + - 2 = x + y #. Most vonja le #x# mindkét oldalról, és van #Y = + - 2-X #. Emlékezzetek ezekre az algebra-ról? Ennek a vonalnak a lejtése #-1#és mivel a derivatív a lejtő, azt mondhattuk volna # Dy / dx = -1 # és elkerülte az összes munkát.