A háromszögnek (4, 1), (2, 4) és (0, 2) # sarkai vannak. Mi a végpontja a háromszög merőleges bisektorainak?

Válasz:

Az egyszerű végpontok a középpontok, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# és annál nehezebbek azok, ahol a bisectorok találkoznak a másik oldallal, beleértve #(8/3,4/3).#

Magyarázat:

A háromszög merőleges bisektorjaival feltehetőleg a háromszög mindkét oldalának merőleges bisectorját értjük. Tehát három háromszögre három merőleges bisector van.

Minden merőleges bisector úgy van definiálva, hogy az egyik oldalát metszi középpontjában. Emellett a másik oldalt is metszi. Feltételezzük, hogy a két találkozás a végpont.

A középpontok

# D = fr 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = fr 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = fr 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Ez valószínűleg egy jó hely a vonalak és vonalak szegmensek paraméteres ábrázolásának megismeréséhez. # T # egy olyan paraméter, amely a reals (egy vonal) vagy a tartomány felett terjedhet #0# nak nek #1# egy vonalszakaszhoz.

Jelöljük meg a pontokat #A (4,1) #, #B (2,4) # és #C (0,2) #. A három oldal:

# AB: (x, y) = (1-t) A + B #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4 t, 1 + t) #

Mint # T # nulláról az egyikre megy, és mindkét oldalon kiderül.

Dolgozzunk ki egyet. # D # a középpontja #IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT#, # D = fr 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

A C-től B-ig terjedő irányvektor # B-C = (2,2) #. A merőlegeseknél a két együtthatót lefordítjuk (nincs hatásunk itt, mert mindkettő #2#) és az egyiket. Tehát a merőleges paraméteres egyenlet

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Más vonal, más paraméter.) Láthatjuk, hogy hol találkozunk mindegyik oldallal.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # ellenőrzi, hogy a merőleges bisector találkozik a BC-vel a középpontjában.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

kivonás, # t = 2-3 = - 1 #

Ez a hatótávolságon kívül van, így a BC merőleges dőlésszöge nem éri el az AB oldalt.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 négymind 2 = t + 2u #

kivonás, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Ez adja a másik végpontot

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Ez egyre hosszabb, így elhagyom a másik két végpontot.