Bizonyítsuk be, hogy a Cot 4x (sin 5 x + sin 3 x) = Cot x (sin 5 x - sin 3 x)?

#sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((a-b) / 2) #

#sin a - sin b = 2 sin ((a-b) / 2) cos ((a + b) / 2) #

Jobb oldal:

#cot x (sin 5x - sin 3x) = cot x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) #

# = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x #

Bal oldal:

#cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = kiságy (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) #

# = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x #

Egyenlőek #quad sqrt #

Válasz:

Faktor-képlet (termékösszeg és termék-összeg-identitás)

Magyarázat:

Ehhez a kérdéshez használhatjuk a Sum-to-termék és Termék-to-Sum identitást.

Lusta vagyok, tehát itt van egy kép az identitásokról.

A fenti termékösszeg-képlet összetett szögazonosságokon keresztül nyerhető.

A helyettesítés használata #alpha = a + b # és #beta = a - b #, a következő termék-összegű képleteket kapjuk.

Tehát, most, hogy megszereztük, alkalmazzuk a képleteinket.

#cot (4x) (sin (5x) + sin (3x)) = cos (4x) / sin (4x) (2 bűn ((5x + 3x) / 2) cos ((5x - 3x) / 2)) = cos (4x) / sin (4x) (2sin (4x) cos (x)) = 2cos (4x) cos (x) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = kiságy (x) (sin (4x + x) - sin (4x - x)) = cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) #

Alternatív megoldásként a jobb oldali termékösszetételt is alkalmazhatja:

#cot (x) (sin (5x) - sin (3x)) = cos (x) / sin (x) (2 cos ((5x + 3x) / 2) sin ((5x - 3x) / 2)) = cos (x) / sin (x) (2cos (4x) sin (x)) = 2cos (4x) sin (x) = LHS.

# # QED