Hogyan oldható meg 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Válasz:

Ezt a kérdést grafikusan tudjuk megoldani.

Magyarázat:

Az adott egyenlet # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # lehet újraírni

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Most vegye ezeket a két különálló funkciót

#f (x) = 2e ^ (X) # és #g (x) = 7-2x # és ábrázolja grafikonjukat; azok metszéspont lesz a megoldás az adott egyenlethez # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Ez az alább látható: -

Válasz:

Ez túlmutat a középiskolai algebra felett, és a legjobb megoldás a Wolfram Alpha kérésére #x kb.94 #.

Magyarázat:

megfejt

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Az ilyen kérdések általában kemények, és a válasz attól függ, hogy Algebra-ban vagy a középiskolában vagy a matematikában.

A középiskolában a legjobb megoldás az, hogy csak néhány kis számot próbáljon meg megnézni, hogy működnek-e. (Ez sok, sok középiskolai matematikai probléma esetén működik #x# megcsinálja # E ^ x # racionális, # X = 0 #, ami nem megoldás. Tehát a találgatás nem fog itt dolgozni.

Ha egy közelítés elég jó, grafikon vagy grafikon látható # 2e ^ x # és # # 7-2x és nézd meg, hol találkoznak.

Bármi legyen is a szinted, amikor egy ilyen keményen szembesülsz, általában jó lépés, ha megkérdezed a rendelkezésre álló szakértőt, vagyis Wolfram Alpha-t.

Látjuk, hogy az Alpha hozzávetőleges választ ad nekünk, elég közel az 1-hez, és még egy képlethez is, W (x) használatával, amelyet a Lambert Terméknapló, amely általában nem része a középiskolai matematikának.

A középiskolai algebra rendszeres funkcióival és műveleteivel nincs válasz. Ez általában igaz, ha egy kifejezést adunk hozzá #x# egy exponensben, ahol #x# lineáris vagy nagyobb teljesítményként jelenik meg.

Ez a válasz vége a legtöbb diáknak. De elmélyülhetünk. A terméknapló érdekes funkció.Tekintsük az egyenletet

#k = xe ^ x #

A jobb oldalon növekvő funkciója van #x#, így keresztbe fog # K # előbb-utóbb. A napló megadása nem igazán hozza meg minket: #ln k = ln x + x #.

Valami olyannak kell lennie, mint egy napló, de nem egy, ami a fordított # E ^ x #. Ennek az inverznek kell lennie # Xe ^ x #. Ezt a terméknaplónak vagy a Lambert W funkciónak nevezik:

#k = xe ^ x # valódi megoldása van #x = W (k) #.

Felhívjuk a figyelmet a valóságra. Érdekes felfedezni # W #s tulajdonságai. Az alapvető, amit adunk

#W (xe ^ x) = x #

Hagyjuk # X = ti ^ y # a következőkben #W (x) = y #. Most

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Szuper. Mi van

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Naplók készítése, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # feltételezve, hogy a naplók meg vannak határozva

Most, hogy lássuk, mi hasonlít a W munkájához, nézze meg, hogy használhatja-e az egyenlet megoldására, vagy ellenőrizheti az Alpha megoldását

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #