Mi a lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2?

Válasz:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

Magyarázat:

enged # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# Lny = ln ((e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2) #

# Lny = LNE ^ (2x) + ln (sin (1 / x)) - lnx ^ 2 #

# Lny = 2xlne + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

# Lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2 lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = oo #

# E ^ lny = e ^ oo #

# Y = oo #

Válasz:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #. Kérjük, olvassa el az alábbi magyarázatot.

Magyarázat:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

Vegye figyelembe, hogy: # (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #

Most, mint # # Xrarrooaz első arány kötés nélkül növekszik, míg a második megy #1#.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 /x)#

# = oo #

További magyarázat

Itt van a fenti megoldáshoz vezető érvelés.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 # kezdeti formája van # (Oo * 0) / oo #.

Ez egy határozatlan forma, de ezt a formát nem alkalmazhatjuk a l'Hospital szabályára.

Átírhatjuk azt # (E ^ (2x)) / (x ^ 2 / sin (1 / x)) # hogy megkapja az űrlapot # Oo / oo # amire tudtunk alkalmazni l'Hospitalot. Mindazonáltal nem szeretném különösen a nevező származékát venni.

Emlékezzünk erre #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

Szóval #lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

Ez az, ami motiválja a fentiekben használt átírást.

# (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #.

Mint #x# növekedés nélkül kötődik, # E ^ x # sokkal gyorsabban megy a végtelenséghez # X ^ 3 # (gyorsabb, mint bármelyik hatalom #x#).

Így, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # még gyorsabban fúj.

Ha nem áll rendelkezésre ez a tény, használja a l'Hospital szabályát

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #

Miért lim_ (x-> oo) (sqrt (4x ^ 2 + x-1) -sqrt (x ^ 2-7x + 3)) = lim_ (x-> oo) (3x ^ 2 + 8x-4) / ( 2x + ... + x + ...) = oo?

"Lásd magyarázat" "Szorzás" 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) "Akkor kapsz" lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt ( x ^ 2 - 7 x + 3)) "(mert" (ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2))) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) "(mert" lim_ {x-> oo} 1 / x = 0 ")" = lim {x-> oo} (3

Mi az egyenlő? lim_ (x-> pi / 2) sin (cosx) / (cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2)) =?

1 "Megjegyezzük, hogy" szín (piros) (cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = cos (2x)) "Tehát itt van" lim_ {x-> pi / 2} sin (cos (x )) / cos (x) "Most alkalmazza a de l 'Hôptial szabályt:" = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sin (x)) / (- sin (x)) = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) = cos (cos (pi / 2)) = cos (0) = 1

Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 keresünk: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x) / (sin (1 / x) ) Amikor egy határértéket értékelünk, a "közel" funkció viselkedését vizsgáljuk, nem feltétlenül a "pont" függvényének viselkedését, így x rarr 0-ként, semmiképpen nem kell megvizsgálnunk, hogy x = 0-nál történik, így kapjuk a triviális eredményt: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = lim_ (x rarr 0) 1 = 1 A tisztaság érd