Hogyan ellenőrzi a következő identitást?

Válasz:

Használjon néhány trigál azonosítót és sok egyszerűsítést. Lásd lentebb.

Magyarázat:

Ha olyan dolgokkal foglalkozunk, mint a # # Cos3x, ez megkönnyíti az egység trigonometrikus funkcióinak egyszerűsítését #x#; vagyis valami hasonló # # Cosx vagy # Cos ^ 3x #. Ezt a koszinusz-szabályt használhatjuk erre:

#cos (alfa + béta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Szóval, mivel # Cos3x = cos (2x + x) #, nekünk van:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Most helyettesíthetjük # # Cos3x a fenti kifejezéssel:

# (Cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Ezt a nagyobb frakciót két kisebb frakcióra lehet felosztani:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Vegye figyelembe, hogy a cosines megszakad:

# ((Cos ^ 2x-sin ^ 2x) megszünteti (cosx)) / törlés (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Most add hozzá a # Sin ^ 2x-sin ^ 2x # az egyenlet bal oldalán (ami ugyanaz, mint a hozzáadás #0#). A mögöttes érvelés egy perc múlva világossá válik:

# Cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Feltételek átrendezése:

# Cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Használja a Pythagorean Identityt # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # és kombinálja a # Sin ^ 2x #s zárójelben:

# 1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Láthatjuk, hogy a hozzáadott kis trükkünk # Sin ^ 2x-sin ^ 2x # lehetővé tette számunkra, hogy a Pythagorean Identityt használjuk, és gyűjtsük össze a # Sin ^ 2x # feltételeket.

És voila:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Q.E.D.