Hogyan integrálódik az int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Válasz:

Használj # U #- helyettesítés # -3lnabs (gyermekágy (t)) +, C #.

Magyarázat:

Először is vegye figyelembe, hogy #3# egy állandó, ki tudjuk húzni az egyszerűsítés szerves részéből:

# 3int (CSC ^ 2 (t)) / kiságy (t) dt #

Most - és ez a legfontosabb rész - észreveszik, hogy a #cot (t) # jelentése # -Csc ^ 2 (t) #. Mivel van egy funkciója és származéka ugyanabban az integrálban, alkalmazhatjuk a # U # ilyen helyettesítés:

# U = gyermekágy (t) #

# (Du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# Du = -csc ^ 2 (t) dt #

Meg tudjuk alakítani a pozitívakat # CSC ^ 2 (t) # negatívhoz hasonlóan:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / kiságy (t) dt #

És alkalmazza a helyettesítést:

# -3int (du) / u #

Tudjuk #int (du) / u = lnabs (u) +, C #, így az integrál kiértékelése megtörtént. Csak vissza kell cserélnünk a helyettesítőt (a válaszot vissza kell adnunk) # T #) és csatolja #-3# az eredményhez. Mivel # U = gyermekágy (t) #, mondhatjuk:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (gyermekágy (t)) +, C #

És ennyi.

Válasz:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const.

Magyarázat:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Emlékezz arra

#sin 2t = 2 sint * költség #

Így

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Amint megtalálható az integrálok táblázatában

(például az SOS Math-ban a Csc (ax) -et tartalmazó integrálok táblázata):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) |

ezt az eredményt kapjuk

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const. #