Mi az int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Válasz:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Magyarázat:

Ez a magyarázat egy kicsit hosszú, de nem tudtam gyorsabb módot találni …

Az integrál egy lineáris alkalmazás, így már meg lehet osztani a függvényt az integrált jel alatt.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

A két első kifejezés a polinom funkció, így könnyen integrálható. Megmutatom, hogyan kell csinálni # X ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # így # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Ugyanezt csinálod # X ^ 3 #, az eredmény #255/4#.

Lelet #intsqrt (x-1) / x ^ 2DX # egy kicsit hosszú és bonyolult. Először szaporodd meg a frakciót #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # majd megváltoztatja a változót: mondjuk #u = sqrt (x-1) #. Így # Du = 1 / (2sqrt (X-1)) dx # és most meg kell találnod # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Annak érdekében, hogy megtaláljuk, szükség van a racionális függvény részfrakciójára # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # val vel # a, b, c, d az RR-ben. A kalkulus után ezt megtudjuk # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, ami azt jelenti # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # jól ismert, ez az #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Végül, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Cseréljük # U # az eredeti kifejezéssel #x# birtokolni #intsqrt (x-1) / x ^ 2DX #, ami #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Végül, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #