Milyen időközönként a következő egyenlet konkáv fel, konkáv lefelé, és ahol az inflexiós pontja (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Válasz:

• ha # 0 <x <e ^ (- 15/56) # azután # F # jelentése konkáv lefelé;
• ha #x> e ^ (- 15/56) # azután # F # jelentése konkáv fel;
• # X = e ^ (- 15/56) # egy (csökkenő) inflexiós pont

Magyarázat:

A kétszeresen differenciálható függvény konkáv és inflexiós pontjainak elemzése # F #, megvizsgálhatjuk a második származék pozitivitását. Valójában, ha # # X_0 egy pont a tartomány tartományában # F #, azután:

• ha #f '' (x_0)> 0 #, azután # F # jelentése konkáv fel szomszédságában # # X_0;
• ha #f '' (x_0) <0 #, azután # F # jelentése konkáv lefelé szomszédságában # # X_0;
• ha #f '' (x_0) = 0 # és a jel #f '# kellően kicsi jobb szomszédságában # # X_0 ellentétes a #f '# elég kicsi baloldali szomszédságában # # X_0, azután # X = x_0 # nevezzük inflexiós pont nak,-nek # F #.

A konkrét esetben #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, van egy funkciója, amelynek domainjét a pozitív realsokra kell korlátozni #RR ^ + #.

Az első származék

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

A második származék

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Vizsgáljuk meg a #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Tehát, figyelembe véve, hogy a domain #RR ^ + #, ezt kapjuk

• ha # 0 <x <e ^ (- 15/56) # azután #f '' (x) <0 # és # F # jelentése konkáv lefelé;
• ha #x> e ^ (- 15/56) # azután #f '' (x)> 0 # és # F # jelentése konkáv fel;
• ha # X = e ^ (- 15/56) # azután #f '' (x) = 0 #. Figyelembe véve ezt a pontot balra #f '# negatív, és jobbra pozitív, arra következtetünk, hogy # X = e ^ (- 15/56) # egy (csökkenő) inflexiós pont