Hogyan találja meg az y = -4sin (x) és y = sin (2x) görbék által határolt területet a zárt intervallumban 0-ról pi-ra?

Válasz:

értékelje

# Int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Terület: #8#

Magyarázat:

A két folyamatos funkció közötti terület #f (X) # és #G (X) # felett #x a a, b # alatt jelentése:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Ezért meg kell találnunk, mikor #f (x)> g (x) #

Legyen a görbék a funkciók:

#f (x) = - 4sin (X) #

#G (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Tudván, hogy #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Oszd el #2# ami pozitív:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Oszd el # # Sinx a jel megfordítása nélkül #sinx> 0 # minden #x (0, π) #

# -2> cos (x) #

Ami lehetetlen, mivel:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Tehát a kezdeti állítás nem lehet igaz. Ebből adódóan, #f (x) <= g (x) # minden #x -ban 0, π #

Az integrál kiszámítása:

# Int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# Int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# Int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# Int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (X) #

# -1/2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1/2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#