Mi az int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx integrálja?

Válasz:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) +, C #

Magyarázat:

Nagy problémánk ebben az integrálban a gyökér, így szeretnénk megszabadulni tőle. Ezt egy helyettesítés bevezetésével tehetjük meg # U = sqrt (2x-1) #. Ekkor a származékos termék

# (Du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Tehát megosztjuk (és ne feledjük, hogy a kölcsönös megosztás ugyanaz, mint a nevezővel való szorzás), hogy integrálódjunk a # U #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / törlés (sqrt (2x-1)) törlés (sqrt (2x-1)) = int x ^ 2-1

Most mindössze annyit kell tennünk, hogy kifejezzük a # X ^ 2 # szempontjából # U # (mivel nem tudsz integrálni #x# tekintetében # U #):

# U = sqrt (2x-1) #

# U ^ 2 = 2x-1 #

# U ^ 2 + 1 = 2x #

# (U ^ 2 + 1) / 2 = X #

# X ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2U ^ 2 + 1) / 4 #

Visszatérhetjük ezt az integrálba, hogy:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1

Ezt a fordított teljesítmény szabály alapján lehet értékelni:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u +, C #

Helyettesítés # U = sqrt (2x-1) #, kapunk:

# 1/20-ig (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) +, C #