Hogyan értékeli az int (dt) / (t-4) ^ 2 integrálját 1-től 5-ig?

Válasz:

Helyettes # X = t-4 #

A válasz az, ha valóban megkérjük, hogy megtalálja az integrát:

#-4/3#

Ha a területet keresed, mégsem olyan egyszerű.

Magyarázat:

# Int_1 ^ 5dt / (T-4) ^ 2 #

Készlet:

# T-4 = X #

Ezért a különbség:

# (D (T-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# Dt = dx #

És a határok:

# X_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# X_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Most cserélje ki ezeket a három értéket:

# Int_1 ^ 5dt / (T-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1DX / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) X ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

JEGYZET: NE HASZNÁLJA EZT A HASZNÁLATBÓL, HOGY HASZNÁLJÁNAK A TERÜLET ELLENŐRZÉSE. Bár ez valójában a két határ közötti területet képviseli, és mivel mindig pozitív, pozitívnak kellett lennie. Ez a funkció azonban nem folyamatos nál nél # X = 4 # így ez az integrál nem reprezentálja a területet, ha ezt akarja. Ez egy kicsit bonyolultabb.

Válasz:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Magyarázat:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Válasz:

Attól függően, hogy mennyi integrációt tanult, a "legjobb" válasz: "az integrál nincs meghatározva" (még) vagy "az integrált diverges"

Magyarázat:

Amikor megpróbáljuk értékelni # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, meg kell győződnünk arról, hogy az integrand azon az intervallumon van meghatározva, amelyen integrálunk.

# 1 / (X-4) ^ 2 # nincs megadva #4#, így van nem a teljes intervallumban #1,5#.

A kalkulus elején, meghatározzuk az integrát a kezdettel

„Legyen # F # időközönként definiálható # A, b #… '

Tehát tanulmányunk korai szakaszában a legjobb válasz az

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# nem meghatározott (még?)

Később kiterjesztjük a definíciót „nem megfelelő integrálok” -nak nevezik

Ezek közé tartoznak az integrálok korlátlan időközönként (# (- oo, b #, #hadműveleti tiszt)# és # (- oo, oo) #), valamint olyan intervallumok, amelyeken az integrand olyan pontokat tartalmaz, ahol nincs meghatározva.

A (próbálkozás) értékeléséhez # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, értékeljük a két helytelen integrált # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Ne feledje, hogy ezeken az integránok még nincsenek meghatározva zárva időközönként.)

A módszer az, hogy helyettesítse azt a pontot, ahol az integrált egy változó nem határozza meg, majd korlátozza a változót, amikor a változó megközelíti a számot.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Keressük meg először az integrátort:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Keresi a határértéket # Brarr4 ^ - #, látjuk, hogy a határ nem létezik. (Mint # Brarr4 ^ - #, az értéke # -1 / (b-4) # kötés nélkül növekszik.)

Ezért az integrál #1,4# nem létezik így az integrál #1,5# nem létezik.

Azt mondjuk, hogy az integrál eltér.

jegyzet

Néhányan azt mondanák: most van egy meghatározás az integrálból, csak nem történik olyan szám, amely megfelel a definíciónak.