Hogyan értékeli az int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) határozott integrálját a [0, pi / 4] -ból?

Válasz:

# Pi / 4 #

Magyarázat:

Figyeljük meg, hogy a második pythagorai identitásból

# 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #

Ez azt jelenti, hogy a frakció 1-nek felel meg, és ez meglehetősen egyszerű integrálást hagy nekünk

# int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4 #

Válasz:

# Pi / 4 #

Magyarázat:

Érdekes módon azt is megjegyezzük, hogy ez illeszkedik az arctangens integrál formájához, nevezetesen:

# Int1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) #

Itt, ha # U = tanx # azután # Du = sec ^ 2xdx #, azután:

# Intsec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) dx = Int1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) = arctan (tanx) = x #

A határok hozzáadása:

# Int_0 ^ (pi / 4) sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) dx = x _0 ^ (pi / 4) = pi / 4-0 = pi / 4 #

Hogyan találja meg az int (1-2x-3x ^ 2) dx határozott integrálját a [0,2] -től?

Int_0 ^ 2 (1-2x-3x ^ 2) dx = -10 int_0 ^ 2 (1-2x-3x ^ 2) dx = | x-2 * 1/2 * x ^ 2-3 * 1/3 * x ^ 3 | _0 ^ 2 int_0 ^ 2 (1-2x-3x ^ 2) dx = | xx ^ 2-x ^ 3 | _0 ^ 2 int_0 ^ 2 (1-2x-3x ^ 2) dx = 2-2 ^ 2-2 ^ 3 int_0 ^ 2 (1-2x-3x ^ 2) dx = 2-4-8 int_0 ^ 2 (1-2x-3x ^ 2) dx int_0 ^ 2 (1-2x-3x ^ 2) dx = -10

Hogyan értékeli a [0, sqrt7] által határolt határozott integrált int t sqrt (t ^ 2 + 1dt)?

Ez int_0 ^ sqrt7 t * sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * (t ^ 2 + 1) '* sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2) / (3/2)] 'dt = 1/3 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2)] _ 0 ^ sqrt7 = 1/3 (16 sqrt (2) -1) ~ ~ 7.2091

Hogyan értékeli a határozott integrált (2t-1) ^ 2 [0,1] -től?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Legyen u = 2t-1 a du = 2dt, ezért dt = (du) / 2 A határok átalakítása: t: 0rarr1 azt jelenti, hogy u: -1rar1 Integrál: 1 / 2int_ -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1 / 3u ^ 3] _ (- 1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3