Kérem, segítsen nekem ebben, hogyan kell csinálni?

Válasz:

#k = 3 #

Magyarázat:

Az exponensek tulajdonságainak felhasználásával # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # és # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, nekünk van

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

És így #13!# osztható # 24 ^ k # ha, és csak akkor ha #13!# osztható # 2 ^ (3k) # és osztható # 3 ^ k #.

Meg tudjuk mondani a legnagyobb erőt #2# amellyel #13!# megosztható, ha megvizsgáljuk annak tényezőit, amelyek oszthatók #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Mivel a páratlan tényezők egyike sem járul hozzá semmilyen tényezőhöz #2#, nekünk van

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

hol # M # néhány egész nem osztható #2#. Mint ilyen, tudjuk ezt #13!# osztható # 2 ^ (3k) # ha, és csak akkor ha #2^10# osztható # 2 ^ (3k) #, jelentése # 3k <= 10 #. Mint # K # egész szám, ez azt jelenti #k <= 3 #.

Ezután megnézhetjük, hogy mely tényezők #13!# osztható #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Mivel nincs más tényező #13!# járul hozzá bármilyen tényezőhöz #3#, ez azt jelenti, hogy

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

hol # N # néhány egész nem osztható #3#. Mint ilyen, tudjuk ezt #3^5# osztható # 3 ^ k #, jelentése #k <= 5 #.

A korlátokat kielégítő legnagyobb nemegatív egész szám #k <= 3 # és #k <= 5 # jelentése #3#, megadva nekünk a választ # K = 3 #.

A számológép ezt ellenőrzi #(13!)/24^3 = 450450#, míg #(13!)/24^4=18768.75#