Hogyan integrálja ezt? X dx (x²-x + 1) Megragadtam ezt a részt (feltöltött kép)

Válasz:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Magyarázat:

Kitartani…

enged # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Az antiderivative használata a memóriában elkötelezetten …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Ez egy trükkös kis integrál, és a megoldás először nem tűnik nyilvánvalónak. Mivel ez egy töredék, megpróbálhatjuk megfontolni a részfrakciók technikáját, de egy gyors elemzésből kiderül, hogy ez nem lehetséges, mivel # X ^ 2-x + 1 # nem faktorálható.

Megpróbáljuk ezt az integrált formát egy olyan formába próbálni, amelyet ténylegesen integrálhatunk. Figyeljük meg a hasonlóságot # Int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # és # Int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; tudjuk, hogy az utóbbi integrál értékeli # Arctanx +, C #. Ezért próbálkozunk # X ^ 2-x + 1 # formájában #k (X-a) ^ 2 + 1 #, majd alkalmazza a # # Arctanx szabály.

Be kell fejeznünk a négyzetet # X ^ 2-x + 1 #:

# X ^ 2-x + 1 #

# = X ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (X-1/2) ^ 2 + 3/4-#

# = (X-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (Sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(nagyon rendetlen, tudom)

Most, hogy a kívánt formában van, az alábbiak szerint járhatunk el:

# Int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = Int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) +, C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) +, C #