Hogyan különbözteti meg implicit módon az y ^ 2 / x = x ^ 3 - 3yx ^ 2-t?

Válasz:

Használja a terméket és a hányadokat, és végezzen sok unalmas algebrát # Dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #.

Magyarázat:

Kezdjük a bal oldalon:

# Y ^ 2 / X #

Ahhoz, hogy ebből származhassunk, meg kell használnunk a hányados szabályt:

# D / dx (u / v) = (u'v-UV ") / v ^ 2 #

Nekünk van # U = y ^ 2-> u '= 2ydy / dx # és # V = x-> v '= 1 #, így:

# D / dx (y ^ 2 / x) = ((2ydy / dx) (x) - (y ^ 2) (1)) / (x) ^ 2 #

# -> d / dx (y ^ 2 / x) = (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 #

Most a jobb oldalon:

# X ^ 3-3yx ^ 2 #

Használhatjuk az összegszabályt és egy állandó szabály szaporítását, hogy ezt a következőre bontjuk:

# D / dx (x ^ 3) -3D / dx (yx ^ 2) #

A második a termékszabályra lesz szükség:

# D / dx (uv) = u'v + UV "#

Val vel # U = y> u '= dy / dx # és # V = x ^ 2-> v '= 2x #. Így:

# D / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2 - ((dy / dx) (x ^ 2) + (y) (2x)) #

# -> d / dx (x ^ 3-3yx ^ 2) = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Problémánk most a következő:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

Hozzáadhatunk # X ^ 2dy / dx # mindkét oldalra és tényező ki a # Dy / dx # elkülöníteni:

# (2xydy / dx-y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2-x ^ 2dy / dx + 2xy #

# -> (2xydy / dx) / x ^ 2 + x ^ 2dy / DX (y ^ 2) / x ^ 2 = 3x ^ 2 + 2xy #

# -> dy / dx ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) = 3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2 #

# -> dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

Remélem, tetszik az algebra, mert ez egy csúnya egyenlet, amelyet le kell egyszerűsíteni:

# Dy / dx = (3x ^ 2 + 2xy + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4) / x ^ 2 + (2x ^ 3y) / x ^ 2 + (y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy) / x ^ 2 + x ^ 4 / x ^ 2) #

# -> dy / dx = ((3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2) / ((2xy + x ^ 4) / x ^ 2) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / x ^ 2 * x ^ 2 / (2xy + x ^ 4) #

# -> dy / dx = (3x ^ 4 + 2x ^ 3y + y ^ 2) / (2xy + x ^ 4) #