Melyek a f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2 lokális maximumai és minimumai?

Válasz:

#f (x) = x ^ 2 / {(X-2) ^ 2 #

Ez a funkció függőleges aszimptotával rendelkezik # X = 2 #, megközelít #1# felülről mint x megy # + oo # (vízszintes aszimptóta) és megközelítések #1# alulról, ahogy x megy # -oo #. Valamennyi származék nincs meghatározva # X = 2 # is. Van egy helyi minimum # X = 0 #, # Y = 0 # (Minden, ami baj van a származásra!)

Ne feledje, hogy szeretné ellenőrizni a matematikámat, még a legjobbak közül is a csekély negatív jelet, és ez egy hosszú kérdés.

Magyarázat:

#f (x) = x ^ 2 / {(X-2) ^ 2 #

Ez a funkció függőleges aszimptotával rendelkezik # X = 2 #, mert a nevező nulla # X = 2 #.

Megközelít #1# felülről mint x megy # + oo # (vízszintes aszimptóta) és megközelítések #1# alulról, ahogy x megy # -oo #, mert nagy értékek # X ^ 2 ~ = (X-2) ^ 2 # val vel # X ^ 2> (X-2) ^ 2 # mert #X> 0 # és # X ^ 2 <(X-2) ^ 2 # mert #X <0 #.

A max / perc megtalálásához az első és a második származékra van szükség.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Használja a hányados szabályt!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

A hatalomra vonatkozó szabály és a láncszabály használata:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Most egy kicsit …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Most a második származék, amit az elsőre tettünk.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (X-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (X-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (X-2) ^ 8 #

Ez csúnya, de csak akkor kell csatlakoztatnunk, és meg kell jegyeznünk, hogy milyen rosszul viselkedett.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Ez a funkció nincs meghatározva # X = 2 #, az aszimptóta, de jól néz ki mindenhol.

Szeretnénk tudni, hogy a max / min …

beállítottuk # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # ez nulla, ha a számláló nulla, és ha a nevező nem.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # vagy # 4x (2-x) = 0 # Ez nulla # X = 0 # és # X = 2 #, de nem lehet max / min a derivatív / függvény meghatározatlan, így az egyetlen lehetőség # X = 0 #.

"a második származékos teszt"

Most megnézzük a második származékot, csúnya, ahogy …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

A függvényhez és az első származékhoz hasonlóan ez nem definiált # X = 2 #, de jól néz ki mindenhol.

Csatlakoztunk # X = 0 # -ba # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, nem nulla ilyen szép szám, hogy csatlakoztassa?

#=128/256# mindezt #1/2#

#1/2 >0# így # X = 0 # egy helyi minimum.

Ahhoz, hogy megtaláljuk az y értéket, be kell kapcsolnunk a funkcióba.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Az eredet!