Bizonyítsuk be, hogy az x = y ^ 2 és xy = k görbék jobb szögben vágnak, ha 8k ^ 2 = 1?

Válasz:

#-1#

Magyarázat:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

a két görbe

#x = y ^ 2 #

és

#x = sqrt (1/8) / y vagy x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

a görbe #x = y ^ 2 #, a származék a # Y # jelentése # 2y #.

a görbe #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, a származék a # Y # jelentése # -Sqrt (1/8) y ^ -2 #.

az a pont, ahol a két görbe találkozik # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

mivel #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

az a pont, ahol a görbék találkoznak # (1/2, sqrt (1/2)) #

amikor #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

a görbe érintőjének gradiensét #x = y ^ 2 # jelentése # 2sqrt (1/2) vagy 2 / (sqrt2) #.

amikor #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

a görbe érintőjének gradiensét #xy = sqrt (1/8) # jelentése # -2sqrt (1/8) vagy -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Keresünk egy feltételt # K # úgy, hogy a görbék # X = y ^ 2 # és # Xy = k # "szögben vágva". Matematikailag ez azt jelenti, hogy a görbéknek ortogonálisnak kell lenniük, ami azt jelenti, hogy minden esetben a görbék érintőit a bármilyen adott pont merőleges.

Ha a görbék családját vizsgáljuk különböző értékekre # K # kapunk:

Rögtön megjegyezzük, hogy egyetlen pontot keresünk, ahol az érintő merőleges, így általában a görbék nem minden ponton ortogonálisak.

Először keressük meg egyetlen koordináta, # P #, a kereszteződés pontja, amely a következők egyidejű megoldása:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Az Eq A helyettesítése B -re:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = gyökér (3) (k) #

És így létrehozzuk a kereszteződési koordinátát:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Szükségünk van továbbá a koordináták érintőinek gradiensére is. Az első görbe:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Tehát a tangens gradiense, # # M_1, az első görbe felé # P # jelentése:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Hasonlóképpen, a második görbe esetében:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Tehát a tangens gradiense, # # M_2, a második görbe felé # P # jelentése:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Ha ezek a két érintő merőleges, akkor azt követeljük, hogy:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Az eredményhez vezető:

# 8k ^ 2 = 1 t QED

És ezzel az értékkel # K #