Válasz:
Kérjük, olvassa el az alábbi magyarázatot
Magyarázat:
A funkció
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
A részleges származékok
# (DELF) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (DELF) / (Dely) = 2y + x-3 #
enged # (DELF) / (delx) = 0 # és # (DELF) / (Dely) = 0 #
Azután, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(X = -3), (y = 3):} #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (Dely ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
A hesseni mátrix
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (Dely ^ 2))) #
A meghatározó a
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Ebből adódóan, Nincsenek nyeregpontok.
#D (1,1)> 0 # és # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, van egy helyi minimum #(-3,3)#
Válasz:
Helyi minimum: #(-3,3)#
Magyarázat:
A szélsőséges és nyeregpontokat tartalmazó pontok csoportja akkor jelenik meg, amikor mindkettő # (DELF) / (delx) (x, y) # és # (DELF) / (Dely) (x, y) # nulla.
Feltételezve #x# és # Y # független változók:
# (DELF) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (DELF) / (Dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Tehát két egyidejű egyenletünk van, amelyek boldogan lineárisak:
# 2x + y + 3 = 0 #
# X + 2y-3 = 0 #
Az elsőtől:
# Y = -2x-3 #
Helyettesítsük a másodikba:
# X + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# X-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# X = -3 #
Helyettesítse vissza az elsőre:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# Y = 3 #
Tehát van egy pont, ahol az első származékok egyenletesen nullává válnak, akár egy extremum, akár egy nyereg # (X, y) = (- 3,3) #.
Ahhoz, hogy kiderítsük, hogy ki kell számolnunk a második származékok mátrixát, a Hesseni mátrixot (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (Dely ^ 2))) #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (Dely ^ 2) = 2 #
És így
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (Dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Valamennyi másodrendű származék egyenletesen állandó, függetlenül az értékektől #x# és # Y #, így nem kell kifejezetten kiszámítanunk az érdekes pont értékeit.
Megjegyzés: A differenciálás sorrendje nem számít a folyamatos másodlagos derivatívákkal (Clairault elmélete, alkalmazás itt: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_deratives), ezért azt várjuk, hogy # (Del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, amint azt a fenti konkrét eredményünkben látjuk.
Ebben a kétváltozós esetben a hesseni determinánsból levonhatjuk a pont típusát, # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (Dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Itt adható meg az adminisztrációs teszt egy formája:
Látjuk, hogy a meghatározó #>0#, és így van # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Tehát arra következtetünk, hogy #(-3,3)#A nulla első derivált egyetlen pontja a funkció helyi minimumja.
Ahogy az egydimenziós függvény kérdésének szándékos ellenőrzése, rendszerint a grafikonot tesszük közzé, de a Szokratikusnak nincs olyan felületi vagy kontúrrajzoló eszköze, amely kétdimenziós függvényekhez alkalmas, amennyire csak látom. Így felülmúlom a két funkciót #f (-3, y) # és #f (x, 3) #, amelyek nem jellemzik számunkra a teljes függvényterületet, de megmutatják számunkra a legkisebbet, ami a várt módon jelenik meg # Y = 3 # és # X = -3 #, azonos funkcióértékkel # F = -5 # minden egyes esetben.
Mint #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
grafikon {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
