Mi a negatív szám logaritmusa?

A negatív számok logaritmusait nem határozzák meg a valós számokban, ugyanúgy, mint a negatív számok négyzetgyökét nem határozzák meg a valós számokban. Ha várhatóan a negatív szám naplóját találja, a legtöbb esetben a "nem definiált" válasz megfelelő.

Azt jelentése az értékelésre azonban lehetőség van, de a válasz egy komplex szám lesz. (az űrlap száma #a + bi #, hol #i = sqrt (-1) #)

Ha ismeri a komplex számokat és kényelmesen dolgozik velük, olvassa tovább.

Először is kezdjünk egy általános esetben:

#log_b (-x) =? #

A bázis-szabályt használjuk és természetes logaritmusokra konvertáljuk, hogy később könnyebbé tegyük a dolgokat:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Vegye figyelembe, hogy #ln (-x) # ugyanaz, mint #ln (-1 * x) #. A logaritmusok hozzáadott tulajdonságát kihasználhatjuk, és ezt a részt két külön naplóra különíthetjük el:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Most az egyetlen probléma, hogy kitaláljuk, mi #ln (-1) # van. Lehet, hogy egy lehetetlen dolog, amit először értékelni lehet, de van egy elég híres egyenlet, amit Euler Identitásnak nevezünk, ami segíthet nekünk.

Az Euler Identity állapota:

# e ^ (ipi) = -1 #

Ez az eredmény a szinusz és a kozin erőműsoros bővítéséből származik. (Nem fogom részletesen megmagyarázni ezt, de ha érdekel, itt van egy szép oldal, amely egy kicsit elmagyarázza)

Most, egyszerűen vegyük figyelembe az Euler identitásának mindkét oldalának természetes naplóját:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Egyszerűsített:

#ipi = ln (-1) #

Tehát most, hogy tudjuk, mi #ln (-1) # van, vissza tudjuk cserélni egyenletünket:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Most van egy formula a negatív számok naplóinak megtalálására. Tehát, ha valami hasonlót szeretnénk értékelni # log_2 10 #, csak néhány értéket tudunk csatlakoztatni:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #