A szín (fehér) gyökereit matematikailag ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Válasz:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # mert #n = 0, 1, 2 #

Magyarázat:

Adott:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Trigonometrikus helyettesítés

Mivel ez a kölyök van #3# valódi nullák, a Cardano módszere olyan összetett számok kifejezéseket eredményez, amelyek nem számolhatók be. Cardano módszere nem rossz, de nem nagyon barátságos, kivéve, ha a kocka gyökerei egyszerűek.

Ilyen esetekben alternatívaként trigonometrikus helyettesítést használnék.

Legyen:

#x = k cos theta #

A trükk az, hogy válasszon # K # úgy, hogy a kapott kifejezés tartalmazza # 4 cos ^ 3-theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Nekünk van:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (fehér) (0) = k ^ 3 cos ^ 3-theta - 3 k cos theta - 1 #

#color (fehér) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (fehér) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # val vel # K = 2 #

#color (fehér) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Így:

#cos 3 theta = 1/2 #

Így:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # minden egész számra # N #

Így:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # minden egész számra # N #

Ez ad #3# különböző lehetséges értékei #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # mert #n = 0, 1, 2 #.