Egy körnek van egy középpontja, amely az y = 7 / 2x +3 vonalra esik, és áthalad (1, 2) és (8, 1). Mi a kör egyenlete?

Válasz:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Magyarázat:

A pont #(1,2)# és B pont #(8,1)# ugyanolyan távolságnak kell lennie (egy sugár) a kör közepétől

Ez a pontok (L) során fekszik, amelyek mindegyike egyenlő az A és B ponttól

a két pont közötti távolság (d) kiszámításához használt képlet (pythagorus) # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

helyettesítsük azt, amit tudunk az A pontról és egy tetszőleges pontot az L-re

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

helyettesítsük azt, amit B pontnak tudunk, és egy tetszőleges pontot az L ponton

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Ebből adódóan

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Bontsa ki a zárójeleket

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Egyszerűbb

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

a középpont a vonalon helyezkedik el #y = 7x - 30 # (az A és B távolságtól egyenlő pontok halmaza)

és a vonalon #y = 7x / 2 + 3 # (adott)

oldja meg, ahol a két vonal keresztezi a kör közepét

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

helyettesítse #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

A kör középpontja a #(66/7, 36)#

a kör négyzetének sugara most kiszámítható

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

Egy kör vagy sugár általános képlete # R # jelentése

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # a központtal h, k

Most már tudjuk # H #, # K # és # R ^ 2 # és helyettesítheti őket a kör általános egyenletére

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

bővítse a zárójeleket

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

és egyszerűsíteni

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #