Melyek az y = (x + 3) / (x ^ 2-9) függőleges és vízszintes aszimptotái?

Válasz:

függőleges aszimptóta # X = 3 #

vízszintes aszimptóta # Y = 0 #

lyuk a # X = -3 #

Magyarázat:

#y = (x + 3) / (x ^ 2-9) #

Első tényező:

#y = ((x + 3)) / ((x + 3) (x-3)) #

Mivel a tényező # X + 3 # törli azt a folytonosságot vagy lyukat, a tényezőt # X-3 # nem törli, így aszimptóta:

# X-3 = 0 #

függőleges aszimptóta # X = 3 #

Most töröljük le a tényezőket, és nézzük meg, hogy a funkciók hogyan változnak, mivel az x valóban nagy, pozitív vagy negatív:

#x -> + -oo, y ->? #

#y = törlés ((x + 3)) / (törlés ((x + 3)) (x-3)) = 1 / (x-3) #

Mint látható, a csökkentett forma csak igaz #1# néhány szám felett #x#, figyelmen kívül hagyhatjuk #-3# mert mikor #x# hatalmas, elhanyagolható.

Tudjuk: #x -> + - oo, 1 / x -> 0 # így eredeti funkciónk ugyanazzal a viselkedéssel rendelkezik:

#x -> + - oo, ((x + 3)) / ((x + 3) (x-3)) -> 0 #

Ezért a függvénynek vízszintes aszimptotája van # Y = 0 #

grafikon {y = (x + 3) / (x ^ 2-9) -10, 10, -5, 5}