Melyek az f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) extrém és nyeregpontjai az x, y intervallumban [-pi, pi]?

Válasz:

Magyarázat:

Nekünk van:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

2. lépés - A kritikus pontok azonosítása

Kritikus pont fordul elő a

# f_x = f_y = 0 iff (részleges f) / (részleges x) = (részleges f) / (részleges y) = 0 #

azaz amikor:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # egyidejűleg

Fontolja meg az A egyenletet

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Ezután két megoldásunk van:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Most használja az Eq B -t, hogy megtaláljuk a megfelelő koordinátát:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x az RR-ben (Ereszcsatorna)

Ami a következő kritikus pontokat adja:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) t (4 kritikus pont)

# (+ -pi / 2, + -pi) t (4 kritikus pont)

# (alfa, 0) AA alfa az RR-ben (ereszcsatorna)

# (alfa, + -pi) AA alfa az RR-ben (2 ereszcsatorna vonal)

Fontolja meg a B egyenletet

# -6sinxsin2y = 0 #

Ezután két megoldásunk van:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Most használja az Eq A -t, hogy megtalálja a megfelelő koordinátát @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (a fenti ismétlések)

# y = 0 => x az RR-ben (ismételje meg a fentieket)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (a fenti ismétlések)

Ami nem ad további kritikus pontokat:

3. lépés - A kritikus pontok osztályozása

A kritikus pontok osztályozásához a második részleges származékokat és a Hesseni mátrixot használva egy változó számításhoz hasonló tesztet végzünk.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((részleges ^ 2 f) / (részleges x ^ 2), (részleges ^ 2 f) / (részleges x részleges y)) ((részleges ^ 2 f) / (részleges y részleges x), (részleges ^ 2 f)) / (részleges y ^ 2)) = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Ezután az értéktől függően #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Maximális, ha" f_ (xx) <0), (, "és minimum, ha" f_ (xx)> 0) (Delta <0, "van nyeregpont")) (Delta = 0, "További elemzés szükséges"):} #

Az egyéni Excel makrók használata a függvényértékeket a részleges származékos értékekkel együtt a következőképpen számítja ki:

Itt van egy függvény ábrája

És a kritikus pontokkal (és csatornákkal)

Melyek az f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) extrém és nyeregpontjai?

Van: f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) 1. lépés - A részleges származékok keresése Két vagy több függvény részleges deriváltját számítjuk ki a változókat egy változó megkülönböztetésével, míg a többi változót állandónak tekintjük. Így: Az első származékok: f_x = {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - ((x + y + 1) ^ 2) (2x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (x + y + 1) - 2x (x + y + 1) ^ 2} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x

Melyek az f (x) = 2x ^ 2 lnx extrém és nyeregpontjai?

Az: f (x) = 2x ^ 2lnx definíció tartománya az x (0, + oo) intervallum. Értékeljük a függvény első és második származékát: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx A kritikus pontok a következők: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 és x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) Ebben a pontban: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, így a kritikus pont helyi minimum. A nyeregpontok a következő megoldások: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -

Melyek az f (x, y) = 6 sin x sin y szélsőséges és nyeregpontjai az x, y intervallumban [-pi, pi]?

X = pi / 2 és y = pi x = pi / 2 és y = -pi x = -pi / 2 és y = pi x = -pi / 2 és y = -pi x = pi és y = pi / 2 x = pi és y = -pi / 2 x = -pi és y = pi / 2 x = -pi és y = -pi / 2 A kétváltozós függvény kritikus pontjainak megtalálásához ki kell számítani a gradienst, amely egy vektor, amely a származékokat az egyes változók vonatkozásában tartalmazza: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Tehát d / dx f (x, y) = 6cos (x ) sin (y), és hasonlóan d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). A kritikus pontok