Mi az (sqrt3 -i) kocka gyökere?

A számot trigonometrikus formává alakítanám:

# Z = sqrt (3) -i = 2 cos (-pi / 6) + ISIN (-pi / 6) #

Ennek a számnak a kocka gyökere a következőképpen írható:

# Z ^ (1/3) #

Ezt szem előtt tartva használom az összetett szám n-edik erejét a trigonometrikus formában:

# Z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + ISIN (ntheta) # így:

# Z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + ISIN (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + ISIN (-pi / 18) #

Melyik téglalap alakú: # # 4.2-0.7i

Nem tudom teljesen egyetérteni Gió válaszaival, mert hiányos és (formálisan) rossz is.

A formális hiba az De Moivre képlete nem egész számú exponensekkel. A De Moivre képlete csak egész számú exponensre alkalmazható. További részletek a Wikipédia oldalán

Ott van egy részleges kiterjesztése a képlet, hogy foglalkozni # N #- a gyökerek (extra paramétert tartalmaz) # K #): ha # z = r (cos theta + i sin theta) #, azután

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # hol # k = 0, …, n-1 #.

Egy (és bizonyos értelemben a) az összetett számok nagyon alapvető tulajdonsága # N #- a gyökerek … # N # gyökerek (megoldások)! A paraméter # K # (ami változó #0# és # N-1 #, így # N # értékek) lehetővé teszik számunkra, hogy egyetlen képletben összefoglaljuk őket.

Tehát a kocka gyökerei három megoldással rendelkeznek, és az egyik közülük nem elégséges: csak "#1/3# a megoldás ".

Alább írom a megoldási javaslatomat. Megjegyzések várhatók!

Ahogy Gió helyesen javasolta, az első lépés kifejeződik # Z = sqrt {3} -i # trigonometrikus formában #r (cos theta + i sin theta) #. A gyökerek kezelése során a trigonometrikus forma (szinte) mindig hasznos eszköz (együtt az exponenciális). Kapsz:

# R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Így # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Most azt szeretné kiszámítani a gyökereket. A fenti képlet alapján:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3))

hol # k = 0, 1, 2 #. Tehát három különböző érték van # K # (#0#, #1# és #2#), amelyek három különböző komplex gyökeret szülnek # Z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# # Z_0, # # Z_1 és # # Z_2 a három megoldás.

A képlet geometriai értelmezése a # N # a gyökerek nagyon hasznosak ahhoz, hogy a megoldásokat a komplex síkban lehessen rajzolni. Ugyancsak nagyon szépen rámutat a képlet tulajdonságaira.

Először is észrevehetjük, hogy minden megoldás azonos távolságban van # R ^ {1 / n} # (példánkban #2^{1/3}#) a származástól. Tehát mindegyikük sugár körüli peremén fekszik # R ^ {1 / n} #. Most rámutatnunk kell hol ebbe a kerületbe helyezzük. A szinusz és a koszinus érveit a következő módon írhatjuk át:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (teta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k))

Az "első" gyökér megfelel # K = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Az összes többi gyökér a szög hozzáadásával érhető el # (2pi) / n # rekurzívan a szögig # Teta / n # az első gyökérhez viszonyítva # # Z_0. Tehát mozogunk # # Z_0 a kerületen # (2pi) / n # radianok (# (360 °) / n #). Tehát a pontok egy szabályos csúcsokon találhatók # N #-gon. Az egyikük közül megtaláljuk a többit.

A mi esetünkben:

ahol a kék szög # Teta / n = -pi / 18 # és a magenta # (2pi) / n = 2/3 pi #.