Hogyan találja meg az y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) görbék által körülhatárolt régió forgatásával generált szilárd anyag térfogatát?

Válasz:

# V = 685 / 32pi # köbméter

Magyarázat:

Először vázolja fel a grafikonokat.

# Y_1 = x ^ 2-x #

# Y_2 = 3-x ^ 2 #

#x#-intercept

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # És mi van # {(X = 0), (x = 1):} #

Tehát az elfogás #(0,0)# és #(1,0)#

Szerezd meg a csúcsot:

# Y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Tehát a csúcs a #(1/2,-1/4)#

Ismételje meg az előzőt:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # És mi van # {(X = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Tehát az elfogás # (Sqrt (3), 0) # és # (- sqrt (3), 0) #

# Y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Tehát a csúcs a #(0,3)#

Eredmény:

Hogyan juthat a kötethez? Használjuk a lemez módszer!

Ez a módszer egyszerűen: # "Volume" = piint_a ^ által ^ 2DX #

Az ötlet egyszerű, de okosan használnod kell.

És ezt fogjuk csinálni.

Hívjuk a kötetünket # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2DX #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2DX #

NB: Elviszem # (4-y) # mert # Y # csak a távolság a #x#-görbe a görbe, míg a távolságot a vonaltól akarjuk # Y = 4 # a görbe!

Most keresse meg # A # és # B #, egyenlő # # Y_1 és # # Y_2 majd oldja meg #x#

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1,5), (x = 1):} #

Mivel # A # előtte jön # B #, # => A = -1 # és # B = 1,5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1,5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1,5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2DX #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Tegye ugyanezt # # V_2:

# V_2 = piint_-1 ^ 1,5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1,5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1,5) (1 + x-4) ^ 2DX #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1,5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = színes (kék) ((685pi) / 32) #