Mi a különbség a köztes érték tétel és az extrém érték tétel között?

Válasz:

Az Intermiate Value Theorem (IVT) azt mondja, hogy a függvények folyamatosak # A, b # az összes (köztes) értéket a szélsőségeik között vegye fel. Az Extreme Value Theorem (EVT) azt a funkciót írja le, amely folyamatos # A, b # elérni szélsőséges értékeiket (magas és alacsony).

Magyarázat:

Íme az EVT nyilatkozata: Let # F # legyen folyamatos # A, b #. Aztán léteznek számok # c, d a a, b # oly módon, hogy #f (c)q f (x)q f (d) # mindenkinek #x a a, b -ben. Másképpen fogalmazva, a "supremum" # M # és "minimális" # M # tartományban # {f (x): x a a, b t léteznek (végesek) és vannak számok # c, d a a, b # oly módon, hogy #f (c) = m # és #f (d) = M #.

Ne feledje, hogy a funkció # F # folyamatosnak kell lennie # A, b # a következtetés megtartása. Például, ha # F # olyan funkció, hogy #f (0) = 0,5 #, #f (X) = X # mert #0<>, és #f (1) = 0.5 #, azután # F # nem ér el maximális vagy minimális értéket #0,1#. (A tartomány felsőbbrendűsége és minimális értéke létezik (1, illetve 0), de a funkció soha nem éri el ezeket az értékeket (soha nem egyenlő).)

Ne feledje, hogy az intervallumnak le kell zárnia. A funkció #f (X) = X # nem ér el maximális vagy minimális értéket a nyitott intervallumon #(0,1)#. (Ismét létezik a tartomány legfelsőbb szintje és minimális értéke (1, illetve 0), de a funkció soha nem éri el ezeket az értékeket (soha nem egyenlő).)

A funkció #f (x) = 1 / x # szintén nem ér el maximális vagy minimális értéket a nyitott intervallumon #(0,1)#. Sőt, a tartomány felsőbbsége nem is létezik véges számként (ez "végtelen").

Íme az IVT: Let # F # legyen folyamatos # A, b # és tegyük fel #f (a)! = f (b) #. Ha # V # bármely szám között van #f (a) # és #f (b) #, akkor létezik egy szám #c itt: (a, b) # oly módon, hogy #f (c) = v #. Sőt, ha # V # egy szám a tartomány legfelsőbb és legkisebb tartománya között # {f (x): x a a, b} #, akkor létezik egy szám #c: a, b # oly módon, hogy #f (c) = v #.

Ha különböző folytonos funkciókat készít, elég világos, hogy miért # F # folyamatosnak kell lennie ahhoz, hogy az IVT igaz legyen.