Hogyan különbözik a trigonometrikus helyettesítés az u helyettesítéstől?

Válasz:

Általában a trig-helyettesítést az űrlap integráljához használják # X ^ 2 + -a ^ 2 # vagy #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, míg # U #- a helyettesítést akkor használjuk, ha egy függvény és származéka megjelenik az integrálban.

Magyarázat:

Mindkét típusú helyettesítést nagyon érdekesnek tartom a mögöttük lévő érvelés miatt. Először is vegye figyelembe a trigub helyettesítést. Ez a pythagorai elméletből és a pythagorai identitásokból ered, valószínűleg a trigonometria két legfontosabb fogalma. Ezt akkor használjuk, ha valami ilyesmi van:

# X ^ 2 + a ^ 2 -> # hol # A # állandó

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # ismét feltételezve # A # állandó

Láthatjuk, hogy ezek a két félelmetesen hasonlítanak # A ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, ami a Pythagorai Tétel. A jobb oldali háromszög két oldalát a háromszög hipotenéziséhez kapcsolja. Ha ezt felhívjuk, láthatjuk, hogy igen, # X ^ 2 + a ^ 2 # ábrázolható háromszöggel:

A kép nagyon hasznos, mert azt mondja nekünk # Tantheta = x / a #, vagy # Atantheta = x #; ez a trigub helyettesítés alapját képezi. Továbbá (és ez az a hely, ahol félelmetes lesz), ha helyettesíted # X = tantheta # -ba # X ^ 2 + a ^ 2 #, ebben az esetben a Pythagorean Identity-t használod # Tan ^ 2 théta + 1 = sec ^ 2 théta #. Ezután egyszerűbbé teheti # Sec ^ 2 théta # ha szükség van rá, és az integrál könnyen elérhető. Ugyanez vonatkozik az esetekre is # X ^ 2-a ^ 2 #, # A ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, és #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Használhatja a trig sub-t. sok problémára, de használhatod # U #- a helyettesítés vitathatatlanul még inkább. Ezt a technikát használjuk, ha valami ilyesmi van # Intlnx / xdx #. Ha figyelmesek vagyunk, látjuk, hogy két funkciónk van: # # LNX és # 1 / x #. És ha emlékezünk az alapvető származékainkra, tudjuk # D / dxlnx = 1 / x # mert #X> 0 # (vagy # D / dxlnabs (x) = 1 / x # mert #x! = 0 #). Tehát az ötlet azt jelenti, hogy hagyjuk # U = lnx #; azután # (Du) / dx = 1 / x # és # Du = dx / x #. Ezek a helyettesítések után a probléma egyszerűsödik # # Intudu - sokkal könnyebb integráció, mint korábban.

Bár ezek a két technika eltérőek lehetnek, mindkettő ugyanazt a célt szolgálja: az egyszerűbb formában lévő integrál csökkentése, hogy az alapvető technikákat használhassuk. Biztos vagyok benne, hogy a magyarázatom nem elegendő ahhoz, hogy a helyettesítésekre vonatkozó összes részletre kiterjedjen, így meghívom másokat, hogy hozzájáruljanak.