Mi az f (x) = arctan (x) Taylor sorozat?

#f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

Nézzük meg néhány részletet.

#f (x) = arctanx #

#f '(x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

Ne feledje, hogy a geometriai teljesítménysorozat

# 1 / {1-x} = összeg_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

helyettesítésével #x# által # -X ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = összeg_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

Így, #f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ NX ^ {2n} #

Az integrálással

#f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

az integrált jel beillesztésével az összegzésbe, # = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

teljesítményszabály szerint

# = Sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} +, C #

Mivel #f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C = C Jobbra C = 0 #

Ennélfogva, #f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #