Egy pár tisztességes hatoldalú kocka nyolcszor dobódik. Keresse meg azt a valószın uséget, hogy a 7-nél nagyobb pontszámot legfeljebb öt alkalommal kapja?

Válasz:

#~=0.9391#

Magyarázat:

Mielőtt belépnénk a kérdésbe, beszéljünk a módszer megoldásáról.

Tegyük fel például, hogy szeretném elszámolni az összes lehetséges eredményt, ha háromszor átkapcsol egy tisztességes érmét. HHH, TTT, TTH és HHT.

A H valószínűsége #1/2# és a T valószínűsége is #1/2#.

A HHH és a TTT esetében # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # minden egyes.

TTH és HHT esetén ez is # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # mindegyik, de mivel 3 módon tudok minden eredményt elérni, akkor végül is lesz # 3xx1 / 8 = 3/8 # minden egyes.

Amikor összefoglalom ezeket az eredményeket, kapok #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - ami azt jelenti, hogy az érmeflip összes lehetséges eredménye megtalálható.

Figyeljük meg, ha beállítom # H # lenni # P # és ezért van # T # lenni # ~ P #, és azt is észrevehetjük, hogy van egy vonalunk a Pascal háromszögéből #(1,3,3,1)#, létrehoztunk egy formát:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ K ((~ p) ^ (n-k)) #

és így ebben a példában:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Most megtehetjük a problémát.

A tekercsek számát 8-ra adtuk # N = 8 #.

# P # a 7-nél nagyobb összeg. Ha meg akarjuk találni a 7-nél nagyobb összeg elérésének valószínűségét, nézzük meg a lehetséges tekercseket:

# ((Szín (fehér) (0), UL1, UL2, UL3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

A 36 lehetőség közül 15 tekercs ad egy 36-nál nagyobb összeget, ami valószínűsíthető #15/36=5/12#.

Val vel # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

A lehetőségek teljes összegét kiírhatjuk - a mind a 8 tekercs 7-nél nagyobb összege megszerzésétől egészen addig, amíg az összes 8 tekercs 7 vagy annál kevesebb összege lesz:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

de érdekel, hogy csak azokat a kifejezéseket foglaljuk össze, amelyeknek a 7-nél nagyobb összege 5-ször vagy annál kevesebb:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Válasz:

#0.93906#

Magyarázat:

# "Tehát P kimenet> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "8 alkalommal dobódik k-re" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

#"(binomiális eloszlás)"#

# "a" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(kombinációk)" #

#"Így, "#

#P "legfeljebb 5 alkalommal fordul elő 8 dobásnál" #

# = 1 - P "8 dobás esetén 6, 7 vagy 8-szor fordul elő" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#