Az f (x) = e ^ x / x ^ 3-3 konkáv vagy konvex az x = -1-nél?

Válasz:

#Konvex#

Magyarázat:

Annak ellenőrzésére, hogy a funkció konvex vagy konkáv, meg kell találnunk#f '' (x) #

Ha #COLOR (barna) (f '' (x)> 0) # azután #COLOR (barna) (f (x)) # jelentése #COLOR (barna) (konvex) #

Ha #COLOR (barna) (f '' (x) <0) # azután #COLOR (barna) (f (x)) # jelentése #COLOR (barna) (konkáv) #

először keressük meg #COLOR (kék) (f '(x)) #

#f '(x) = ((e ^ x) / x)' - (x ^ 3) '- (3)' #

#f '(x) = (xe ^ XE ^ x) / x ^ 2-3x ^ 2-0 #

#COLOR (kék) (f '(x) = (xe ^ XE ^ x) / x ^ 2-3x ^ 2) #

Most keressük meg #COLOR (piros) (f '' (x)) #

#f '' (x) = ((xe ^ x-e ^ x) 'x ^ 2- (x ^ 2)' (xe ^ x-e ^ x)) / (x ^ 2) ^ 2-6x #

#f '' (x) = ((e ^ x + xe ^ xe ^ x) x ^ 2-2x (xe ^ XE ^ x)) / x ^ 4-6x #

#f '' (x) = (x ^ 3e ^ x-2x ^ 2e ^ x-2xe ^ x) / x ^ 4-6x #

Egyszerűsítsük a frakciót #x#

#COLOR (piros) (f '' (x) = (x ^ 2e ^ x-2xe ^ x-2e ^ x) / x ^ 3-6x) #

Most számítsuk ki! #COLOR (barna) (f '' (- 1) #

#f '' (- 1) = ((- 1) ^ 2E ^ (- 1) -2 (-1) e ^ (- 1) -2E ^ (- 1)) / (- 1) ^ 3-6 (-1) #

#f '' (- 1) = (e ^ (- 1) + 2e ^ (- 1) -2E ^ (- 1)) / (- 1) + 6 #

#COLOR (barna) (f '' (- 1) = - e ^ (- 1) +6) #

#COLOR (barna) (f '' (- 1)> 0 #

Így,#f '' (x)> 0 # nál nél # X = -1 #

Ebből adódóan,#f (X) # a covex # X = -1 #

grafikon {e ^ x / x - x ^ 3 -3 -20, 20, -20, 20}