Mi az 5 négyzetgyök?

A négyzetgyökere #5# nem lehet egyszerűsíteni az apát, mint már, így itt van # # Sqrt5 tíz tizedesjegyig

# Sqrt5 ~~ 2,2360679775 … #

Válasz:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~ ~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # egy irracionális szám.

Magyarázat:

Minden pozitív szám általában két négyzetgyökkel rendelkezik, egy pozitív és egy azonos méretű negatív. Jelöljük a pozitív (a.k.a. fő) négyzetgyökét # N # által #sqrt (n) #.

Egy szám négyzetgyökere # N # egy szám #x# oly módon, hogy # x ^ 2 = n #. Tehát, ha # x ^ 2 = n # akkor is # (- x) ^ 2 = n #.

A népszerű használat azonban az, hogy a "négyzetgyök" a pozitívra utal.

Tegyük fel, hogy pozitív számunk van #x# amely megfelel:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Ezután megszorozzuk mindkét oldalt # (2 + x) # kapunk:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Ezután kivonás # # 2x mindkét oldalról:

# X ^ 2 = 5 #

Így találtuk meg:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (fehér) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) #

Ha ez a folytonos frakció nem szűnik meg, azt mondhatjuk #sqrt (5) # nem lehet végpontként ábrázolni, azaz racionális számot. Így #sqrt (5) # egy irracionális szám egy kicsit kisebb, mint #2 1/4 = 9/4#. A jobb racionális közelítésekhez több feltétel után is megszüntetheti a folytatódó frakciót.

Például:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Ezeknek a folytonos frakcióknak a kicsomagolása kicsit unalmas lehet, ezért általában inkább egy másik módszer, nevezetesen a rekurzívan meghatározott egész szekvencia korlátozó arányát kívánom használni.

Sorozat megadása:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Az első néhány kifejezés a következő:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

A kifejezések közötti arány inkább hajlamos # 2 + sqrt (5) #.

Szóval:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #