1 / (1 + x ^ 3) dx integrálása?

Válasz:

# 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) +, C #

Magyarázat:

Kezdje el a nevező faktorizálásával:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

Most részleges frakciókat tehetünk:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = A / (X + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x 1) #

Megtaláljuk # A # a lefedési módszerrel:

# A = 1 / ((szöveg (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

Ezután az LHS nevezővel mindkét oldalt szaporíthatjuk:

# 1 = 1/3-(x ^ 2-x + 1) + (Bx + C) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx +, C #

# 1 = (1/3 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 1/3) #

Ez a következő egyenleteket adja meg:

# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #

# C + 1/3-= 1-> C = 2/3-#

Ez azt jelenti, hogy átírhatjuk az eredeti integrálunkat:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) x # #

Az első integrált kifejezett u-szubsztitúcióval lehet elvégezni, de elég világos, hogy a válasz #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) x) #

A fennmaradó integrálot kettévághatjuk:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) x = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) x) #

Az oka a becsapásnak a szorzással és az osztással #2# a bal oldali nevező megkönnyítése az u-helyettesítés használatakor.

A bal oldali integrált 1-et és a jobboldali integrál 2-t hívom

Integrál 1

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) x # #

Mivel már elkészítettük ezt a helyettesítő anyagot, mindössze helyettesítenünk kell # U = x ^ 2-x + 1 #, és a származék # 2x-1 #, így megosztjuk ezzel az integrációhoz # U #:

#int törlés (2x-1) / (törlés (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

Integrál 2

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) x #

Szeretnénk ezt az integrált formát a formába:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Ehhez ki kell töltenünk a nevező nevű négyzetét:

# X ^ 2-x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + K #

# K = 3/4-#

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) x #

Olyan u-helyettesítést szeretnénk bevezetni, hogy:

# (X-1/2) ^ 2 = 3 / 4U ^ 2 #

# X-1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2U + 1/2 #

A derivatívával megszorozzuk # U # integrálni # U #:

# Dx / (du) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) +, C #

Az eredeti integrál befejezése

Most, hogy ismerjük az Integral 1 és az Integral 2 válaszát, visszaállíthatjuk őket az eredeti kifejezésre, hogy megkapjuk a végső választ:

# 1/3-(ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) +, C #

Válasz:

# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) +, C #

Magyarázat:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) +, C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) +, C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) +, C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) +, C #